Loi binomiale et étude d'une suite numérique

Partie I

Un athlète doit s'entraîner deux jours consécutifs.

Le premier jour, la probabilité qu'il choisisse le stade A est égale à $\alpha$.

Le second jour, on admet que la probabilité qu'il choisisse un stade différent de celui fréquenté la veille est $0,8$.

Pour $j\in\lbrace1,2\rbrace$, on note les événements suivants ainsi :

$A_j$ : '' l'athlète choisit le stade A le j^ième jour '' ;

$B_j$ : '' l'athlète choisit le stade B le j^ième jour ''.

1. Déterminons la valeur de $\alpha$ pour que les événements $A_1$ et $A_2$ aient la même probabilité.

Dressons un arbre de probabilité pour visualiser la situation.

Nous devons déterminer la valeur de $\alpha$ pour que $P(A_1)=P(A_2)$.

Nous savons que $\boxed{P(A_1)=\alpha}$.

Calculons $P(A_2)$.

Les événements $A_1$ et $B_1$ forment une partition de l'univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(A_2)=P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap A_2)$
$=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(A_2)$
$=\alpha\times0,2+(1-\alpha)\times0,8$
$=0,2\alpha+0,8-0,8\alpha$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(A_2)=0,8-0,6\alpha}$

Dès lors, nous obtenons :

$P(A_1)=P(A_2)\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha=0,8-0,6\alpha$
$\Longleftrightarrow\quad\alpha+0,6\alpha=0,8$
$\Longleftrightarrow\quad1,6\alpha=0,8$
$\Longleftrightarrow\quad\alpha=\dfrac{0,8}{1,6}=\dfrac{8}{16}=0,5$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(A_1)=P(A_2)\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha=0,5}$

Dans toute la suite de l'exercice, on prendra $\boxed{\alpha=0,5}$.

L'arbre de probabilité est alors le suivant :

2. Nous devons calculer la probabilité qu'un athlète se rende au même stade pendant les deux jours.

$P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap B_2)$
$=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)$
$=0,5\times0,2+0,5\times0,2$
$=0,1+0,1$
$=0,2$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap B_2)=0,2}$

Par conséquent, la probabilité qu'un athlète se rende au même stade pendant les deux jours est égale à $0,2$.

3. Au deuxième jour, on aperçoit un athlète sortant du stade B.

Déterminons la probabilité qu'il se soit entraîné au même stade la veille, soit $P_{B_2}(B_1)$.

$P_{B_2}(B_1)=\dfrac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_2)}$

Calculons $P(B_2)$.

Les événements $A_1$ et $B_1$ forment une partition de l'univers.

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(B_2)=P(A_1\cap B_2)+P(B_1\cap B_2)$
$=P(A_1)\times P_{A_1}(B_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)$
$=0,5\times0,8+0,5\times0,2$
$=0,4+0,1$
$=0,5$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P(B_2)=0,5}$

Nous obtenons ainsi :

$P_{B_2}(B_1)=\dfrac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_2)}$
$=\dfrac{0,5\times0,2}{0,5}$
$=0,2$

$\Longrightarrow\quad\boxed{P_{B_2}(B_1)=0,2}$

D'où sachant qu'au deuxième jour, un athlète sort du stade B, la probabilité qu'il se soit entraîné au même stade la veille est égale à $0,2$.

Partie II

Au premier jour, on a $n$ athlètes $(n\geq3)$ qui doivent s'entraîner. Chacun d'entre eux choisit, au hasard et indépendamment des choix des autres, l'un des deux stades où il doit s'entraîner.

On suppose que les deux stades ne contiennent aucun athlète au départ.

On dit qu'un athlète est heureux s'il se trouve seul dans un stade.

1. Déterminons la probabilité qu'il y ait deux athlètes heureux.

Au premier jour, on a $n$ athlètes $(n\geq3)$.

Comme il y a au moins $3$ athlètes et qu'il n'y a que $2$ stades, forcément un des deux stades contiendra au moins deux athlètes.

Donc aucun athlète ne se retrouvera seul dans un stade et inévitablement au moins un athlète ne sera pas heureux.

Par conséquent, la probabilité qu'il y ait deux athlètes heureux est égale à $0$.

2. Soit $p_n$ la probabilité qu'il y ait un athlète heureux parmi ces $n$ athlètes.

2.a)

Nous devons montrer que pour tout entier naturel $(n\geq3)$, on a :

$\boxed{p_n=\dfrac{n}{2^{n-1}}}$

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'athlètes ayant choisi le stade A.

La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~0,5)$.

Cette loi est donnée par :

$P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,5^k\times0,5^{n-k}$

Deux cas sont possibles :

$X=1$
ou
$X=n-1$

Donc

$p_n=P(X=1)+P(X=n-1)$

On obtient :

$p_n=\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}0,5^1 0,5^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}0,5^{n-1}0,5^1$
$=n0,5^n+n0,5^n$
$=2n\left(\dfrac12\right)^n$
$=\dfrac{2n}{2^n}$
$=\boxed{\dfrac{n}{2^{n-1}}}$

2.b)

Pour tout $n\geq3$,

$p_{n+1}-p_n=\dfrac{n+1}{2^n}-\dfrac{n}{2^{n-1}}$
$=\dfrac{1-n}{2^n}$

Or $n\geq3\Rightarrow1-n<0$ et $2^n>0$

Donc $p_{n+1}-p_n<0$

La suite $(p_n)_{n\geq3}$ est strictement décroissante.

De plus $p_n>0$, donc la suite est minorée par $0$.

Elle est donc convergente.

$\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{2^{n-1}}=0$

$\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0}$

2.c)

$p_{10}=\dfrac{10}{2^9}=\dfrac{5}{256}\approx0,0195$

$\boxed{p_{10}\approx0,0195}$

Calculs :

$p_{11}\approx0,011$
$p_{12}\approx0,0059$
$p_{13}\approx0,003$

Donc la plus grande valeur de $n$ telle que $p_n>0,005$ est $12$.