Loi binomiale

Exercice 1

a)
Considérons l'événement $S =$ "le candidat est recruté". Pour chaque candidat, l'épreuve a deux issues possibles ;
on a un schéma de Bernoulli dont la probabilité de succès $S$ est $p = 0.07$, et la probabilité d'échec est $q=1-0.07=0.93$.
L'expérience est répétée 5 fois, de façon identique et indépendante.
$X$ est égal au nombre de personnes recrutées ; $X$ est donc le nombre de succès de l'expérience.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0.07$, soit $X\sim B(5,0.07)$.

👉 Conseil : pense toujours à vérifier les deux conditions de la loi binomiale : indépendance des essais et probabilité de succès constante.

b)
Pour tout $k \in [0;5]$, $p(X=k) = \binom{n}{k}\ p^k\ (1-p)^{n-k}$
d'où la probabilité que 2 candidats soient recrutés parmi les 5 amis est :

$p(X=2) = \binom{5}{2}\ 0.07^2\ 0.93^{5-2} = 10 \times 0.07^2 \times 0.93^3 \approx \boxed{0.039}$

👉 Conseil : utilise bien ta calculatrice scientifique pour effectuer les puissances et les coefficients binomiaux.

Exercice 2

• Il y a répétition de $n$ expériences identiques et indépendantes à deux issues :
  le "succès" : la personne est vaccinée, de probabilité $p = 0.4$
  l' "échec" : la personne n'est pas vaccinée, de probabilité $q = 1-p = 0.6$.

• La variable aléatoire $X$ est égale au nombre de personnes vaccinées, donc au nombre de succès de l'expérience.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.

👉 Conseil : dans une question comme celle-ci, rappelle toujours le lien entre “succès/échec” et loi binomiale.

2. $X \sim B(40,0.4)$

a)
$p(X=15) = \binom{40}{15}\ 0.4^{15}\ 0.6^{40-15} \approx \boxed{0.123}$

La probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées est égale à 0,123 (arrondie au millième près).

b)
Par la calculatrice, nous obtenons $p(X \geq 20) = 1 - p(X \leq 19) \approx \boxed{0.130}$

La probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée est environ égale à 13%.

👉 Conseil : pour les grandes valeurs de $n$, pense à utiliser la fonction binomiale cumulée de la calculatrice.

Exercice 3

(Cet exercice est hors programme pour les terminales technologiques)

On a :
$E(X) = np$
$V(X) = np(1-p) = E(X)(1-p)$

Or $1-p \leq 1$

Donc la variance $V(X)$ est inférieure ou égale à l'espérance $E(X)$.

👉 Conseil : retiens bien cette inégalité simple, elle peut être utile pour vérifier rapidement tes résultats.