Des probabilités : événements indépendants et loi correspondante

1. Lecture des probabilités

À partir de l'énoncé, nous devons donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.

La circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\%$ de la population d'un pays.

Donc $P(C)=0{,}02$

Dans ce pays, $90\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

Donc $P(V)=0{,}90$

On constate que $62\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

Donc $P_C(V)=0{,}62$

2. Calculs d’intersections

2.a) Calcul de $P(C \cap V)$

Nous devons calculer $P(C \cap V)$.

$P(C \cap V)=P(C)\times P_C(V)$

$P(C \cap V)=0{,}02\times0{,}62$

$P(C \cap V)=0{,}0124$

Donc

$\boxed{P(C \cap V)=0{,}0124}$

2.b) Calcul de $P(\overline C \cap V)$

Les événements $C$ et $\overline C$ forment une partition de l’univers.

On utilise la formule des probabilités totales :

$P(V)=P(C\cap V)+P(\overline C \cap V)$

$0{,}90=0{,}0124+P(\overline C \cap V)$

$P(\overline C \cap V)=0{,}90-0{,}0124$

Donc $\boxed{P(\overline C \cap V)=0{,}8876}$

3. Complétion de l’arbre

Calcul préalable :

$P_{\overline C}(V)=\dfrac{P(\overline C \cap V)}{P(\overline C)}$

Or $P(\overline C)=1-0{,}02=0{,}98$

Donc $P_{\overline C}(V)=\dfrac{0{,}8876}{0{,}98}$

$P_{\overline C}(V)\approx0{,}9057$

Ainsi $\boxed{P_{\overline C}(V)\approx0{,}9057}$

Puis $P_{\overline C}(\overline V)=1-P_{\overline C}(V)$

$P_{\overline C}(\overline V)\approx1-0{,}9057$

$P_{\overline C}(\overline V)\approx0{,}0943$

Donc $\boxed{P_{\overline C}(\overline V)\approx0{,}0943}$

4. Calcul de $P_V(C)$

Nous devons calculer $P_V(C)$.

$P_V(C)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(V)}$

$P_V(C)=\dfrac{0{,}0124}{0{,}90}$

$P_V(C)\approx0{,}0138$

Donc $\boxed{P_V(C)\approx0{,}0138}$

Interprétation :

La probabilité qu'une personne soit contaminée sachant qu'elle est vaccinée est d’environ $0{,}0138$.

Autrement dit, environ $1{,}38$ des personnes vaccinées ont été contaminées.

5. Vrai ou faux

5.a)

Affirmation : « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

On sait que :

$\begin{cases} P_{\overline C}(V)\approx0{,}9057 \\ P_{\overline C}(\overline V)\approx0{,}0943\end{cases}$

Le rapport vaut :

$\dfrac{0{,}9057}{0{,}0943}\approx9{,}6$

Il y a environ $9{,}6$ fois plus de vaccinés que de non vaccinés.

L’affirmation est donc fausse.

5.b)

Affirmation : « Plus de $98$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

On calcule :

$P_V(\overline C)=1-P_V(C)$

$P_V(\overline C)\approx1-0{,}0138$

$P_V(\overline C)\approx0{,}9862$

Donc environ $98{,}62$ des vaccinés n’ont pas été contaminés.

L’affirmation est donc vraie.

6. Loi de probabilité

6.a)

On répète $20$ épreuves identiques et indépendantes.

Succès : « la personne est contaminée » avec $p=0{,}02$

Échec : « la personne n’est pas contaminée » avec $1-p=0{,}98$

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de personnes contaminées.

Donc $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}02)$

Formule :

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}20\\k\end{pmatrix}(0{,}02)^k(0{,}98)^{20-k}}$

6.b)

Nous devons calculer $P(X=4)$.

$P(X=4)=\begin{pmatrix}20\\4\end{pmatrix}(0{,}02)^4(0{,}98)^{16}$

Calcul numérique :

$\boxed{P(X=4)\approx0{,}0006}$