Lecture des paramètres d’une fonction trigonométrique

Exercice 1

On considère la fonction

$f(t)=4\sin(3t)$

1) Donner l’amplitude de la fonction

Dans l’expression $A\sin(\omega t+\varphi)$, l’amplitude est le coefficient devant le sinus.

Ici : $A=4$

L’amplitude est donc 4.

👉 Conseil : regarde toujours le nombre placé devant $\sin$ ou $\cos$.

2) Donner la pulsation

La pulsation correspond au coefficient devant $t$.

Dans : $4\sin(3t)$

on lit : $\omega=3$

La pulsation vaut 3.

👉 Conseil : la pulsation indique la vitesse d’oscillation de la fonction.

3) Calculer la période

La période d’une fonction de la forme $A\sin(\omega t+\varphi)$ est donnée par $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Ici : $\omega=3$

donc $T=\dfrac{2\pi}{3}$

La période est $\dfrac{2\pi}{3}$.

👉 Conseil : plus $\omega$ est grand, plus la période est petite.

4) Donner l’intervalle des valeurs prises par la fonction

On sait que : $-A\le f(t)\le A$

Ici : $A=4$

donc $-4\le f(t)\le 4$

La fonction oscille entre −4 et 4.

👉 Conseil : l’amplitude correspond à la hauteur maximale de la courbe.

5) Allure de la courbe

La fonction est une sinusoïde.

Caractéristiques :

amplitude : $4$
période : $\dfrac{2\pi}{3}$

La courbe oscille donc trois fois plus vite que la courbe de $\sin(t)$.

Exercice 2

On considère la fonction $f(t)=2\cos(5t)$

1) Identifier l’amplitude

Le coefficient devant le cosinus est l’amplitude.

$A=2$

L’amplitude vaut 2.

2) Identifier la pulsation

Le coefficient devant $t$ est la pulsation.

$\omega=5$

La pulsation vaut 5.

3) Calculer la période

La formule de la période est : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Donc $T=\dfrac{2\pi}{5}$

La période vaut $\dfrac{2\pi}{5}$.

4) Intervalle des valeurs

On sait que : $-A\le f(t)\le A$

Donc : $-2\le f(t)\le 2$

La fonction oscille entre −2 et 2.

5) Comparaison avec $\cos(t)$

La fonction $\cos(t)$ a pour période : $2\pi$

La fonction $2\cos(5t)$ a pour période : $\dfrac{2\pi}{5}$

Or : $\dfrac{2\pi}{5}<2\pi$

La fonction oscille donc plus rapidement.

👉 Conseil : plus $\omega$ est grand, plus les oscillations sont serrées.

Voici ce que cela donne sur $[0~;~2\pi]$.

Exercice 3

On considère la fonction $f(t)=3\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{3}\right)$

1) Identifier l’amplitude

Le coefficient devant le cosinus est l’amplitude.

$A=3$

L’amplitude vaut 3.

2) Identifier la pulsation

Le coefficient devant $t$ est la pulsation.

$\omega=2$

La pulsation vaut 2.

3) Identifier la phase à l’origine

La phase à l’origine correspond au terme constant dans la parenthèse.

Ici : $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$

La phase à l’origine vaut $\dfrac{\pi}{3}$.

4) Calculer la période

La formule est : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Donc : $T=\dfrac{2\pi}{2}$

$T=\pi$

La période vaut $\pi$.

5) Calculer $f(0)$

On remplace $t$ par $0$.

$f(0)=3\cos\left(2\times0+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$f(0)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Or :

$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$

Donc :

$f(0)=3\times\dfrac{1}{2}$

$f(0)=\dfrac{3}{2}$

La valeur initiale est $\dfrac{3}{2}$.

👉 Conseil : remplacer simplement $t$ par $0$ permet de trouver la valeur initiale.