Fonctions sinus et cosinus : amplitude, période et phase

I. Les fonctions sinus et cosinus de la forme $A\cos(\omega t+\varphi)$ et $A\sin(\omega t+\varphi)$

En mathématiques comme en physique, on rencontre très souvent des phénomènes périodiques, c’est-à-dire des phénomènes qui se répètent régulièrement dans le temps : oscillations, ondes sonores, vibrations d’un ressort, etc.

Ces phénomènes sont modélisés par des fonctions trigonométriques de la forme :

$A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$

où $t$ représente généralement le temps.

Ces fonctions permettent de décrire de nombreuses évolutions périodiques.

II. Signification des paramètres

Dans l’expression $A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$, chaque paramètre a une signification précise.

1. L’amplitude

Le nombre $A$ s’appelle l’amplitude.

Il représente la valeur maximale atteinte par la fonction en valeur absolue.

Ainsi, si $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ alors les valeurs de la fonction sont comprises entre : $-A$ et $A$

Exemple

Si $f(t)=3\sin(t)$ alors : $-3 \le f(t) \le 3$

La courbe oscille entre $-3$ et $3$.

2. La pulsation

Le coefficient $\omega$ s’appelle la pulsation.

Il indique la vitesse à laquelle la fonction oscille.

Plus $\omega$ est grand, plus la fonction oscille rapidement.

3. La phase instantanée

L’expression $\omega t+\varphi$ s’appelle la phase instantanée.

Elle dépend du temps $t$.

Ce vocabulaire est très utilisé en physique pour décrire les phénomènes oscillatoires.

4. La phase à l’origine

Le nombre $\varphi$ est appelé phase à l’origine.

Il correspond au décalage horizontal de la courbe au moment $t=0$.

En effet :

$f(0)=A\sin(\varphi)$
ou
$f(0)=A\cos(\varphi)$

III. La périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques.

On rappelle que :

$\sin(x+2\pi)=\sin(x)$
$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$

Pour une fonction de la forme $A\sin(\omega t+\varphi)$ ou $A\cos(\omega t+\varphi)$, la période est donnée par : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Cela signifie que : $f(t+T)=f(t)$

Exemple

Soit $f(t)=2\sin(3t)$

La période est : $T=\dfrac{2\pi}{3}$

La fonction recommence donc exactement les mêmes valeurs tous les $\dfrac{2\pi}{3}$.

Pour les fonctions trigonométriques, on fait souvent le choix sur l'axe des abscisses d'inscrire les multiples et sous-multiples de $\pi$. Cela donne sur le même exemple :