Fonctions sinus et cosinus : amplitude, période et phase

I. Les fonctions sinus et cosinus de la forme $A\cos(\omega t+\varphi)$ et $A\sin(\omega t+\varphi)$

En mathématiques comme en physique, on rencontre très souvent des phénomènes périodiques, c’est-à-dire des phénomènes qui se répètent régulièrement dans le temps : les ondes progressives périodiques (cf. §VI de la fiche fournie en lien), les ondes électromagnétiques (cf. §I. de la fiche fournie en lien) ou encore la tension alternative (cf. §V. de la fiche fournie en lien).

Ces phénomènes sont modélisés par des fonctions trigonométriques de la forme :

$A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$

où $t$ représente généralement le temps.

Ces fonctions permettent de décrire de nombreuses évolutions périodiques.

II. Signification des paramètres

Dans l’expression $A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$, chaque paramètre a une signification précise.

1. L’amplitude

Le nombre $A$ s’appelle l’amplitude.

Il représente la valeur maximale atteinte par la fonction en valeur absolue.

Ainsi, si $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ alors les valeurs de la fonction sont comprises entre : $-A$ et $A$

Exemple

Si $f(t)=3\sin(t)$ alors : $-3 \le f(t) \le 3$

La courbe oscille entre $-3$ et $3$.

2. La pulsation

Le coefficient $\omega$ s’appelle la pulsation.

Il indique la vitesse à laquelle la fonction oscille.

Plus $\omega$ est grand, plus la fonction oscille rapidement.

3. La phase instantanée

L’expression $\omega t+\varphi$ s’appelle la phase instantanée.

Elle dépend du temps $t$.

Ce vocabulaire est très utilisé en physique pour décrire les phénomènes oscillatoires.

4. La phase à l’origine

Le nombre $\varphi$ est appelé phase à l’origine.

Il correspond au décalage horizontal de la courbe au moment $t=0$.

En effet :

$f(0)=A\sin(\varphi)$
ou
$f(0)=A\cos(\varphi)$

III. La périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques.

On rappelle que :

$\sin(x+2\pi)=\sin(x)$
$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$

Pour une fonction de la forme $A\sin(\omega t+\varphi)$ ou $A\cos(\omega t+\varphi)$, la période est donnée par : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

Cela signifie que : $f(t+T)=f(t)$

Exemple

Soit $f(t)=2\sin(3t)$

La période est : $T=\dfrac{2\pi}{3}$

La fonction recommence donc exactement les mêmes valeurs tous les $\dfrac{2\pi}{3}$.

Pour les fonctions trigonométriques, on fait souvent le choix sur l'axe des abscisses d'inscrire les multiples et sous-multiples de $\pi$. Cela donne sur le même exemple :