Effet des paramètres sur les courbes sinusoidales

Dans l’expression $A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$, on a vu que chaque paramètre a une signification précise.

Le nombre $A$ s’appelle l’amplitude.

Le coefficient $\omega$ s’appelle la pulsation.

L’expression $\omega t+\varphi$ s’appelle la phase instantanée.

Le nombre $\varphi$ est appelé phase à l’origine.

I. Effet des paramètres sur la courbe

Chaque paramètre modifie la courbe d’une manière précise.

Effet de l’amplitude

Dans $f(t)=A\sin(t)$ :

• si $A$ augmente, la courbe s’étire verticalement

• si $A$ diminue, la courbe est plus aplatie

Exemple

$f(t)=4\sin(t)$

La courbe varie entre $-4$ et $4$.

Effet de la pulsation

Dans $f(t)=\sin(\omega t)$ :

• si $\omega$ augmente, la période diminue

• la courbe oscille plus rapidement.

Exemple

$f(t)=\sin(2t)$

La période vaut : $T=\pi$

Effet de la phase à l’origine

Dans $f(t)=\sin(t+\varphi)$, le paramètre $\varphi$ provoque un décalage horizontal.

Si $\varphi>0$, la courbe est décalée vers la gauche.
Si $\varphi<0$, elle est décalée vers la droite.

II. Exemple complet

Considérons la fonction : $f(t)=3\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{4}\right)$

On peut identifier les paramètres :

Amplitude : $A=3$

Pulsation : $\omega=2$

Phase à l’origine : $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$

La période est : $T=\dfrac{2\pi}{2}$

donc $T=\pi$

La fonction oscille entre : $-3$ et $3$.

III. Lien avec la physique : les ondes sinusoïdales

En physique, de nombreuses grandeurs évoluent selon une loi sinusoïdale.

Par exemple, une onde peut être modélisée par :

$y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$

où :

• $A$ est l’amplitude de l’onde

• $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ est la période

• la fréquence vaut : $f=\dfrac{1}{T}$

Ces notions sont fondamentales pour comprendre :

• les ondes mécaniques

• les ondes sonores

• les courants alternatifs

• les vibrations mécaniques.