Équations trigonométriques : sinus ou cosinus ?

Exercice 1

$\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Solutions :

$x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
ou
$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Exercice 2

$\cos x = -\dfrac{1}{2}$

Solutions :

$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

Exercice 3

$\sin(2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

Donc :

$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$
ou
$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$

Exercice 4

$\cos(3x) = \dfrac{1}{2}$

$3x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$3x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$

Donc :

$x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2k\pi}{3}$
ou
$x = -\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2k\pi}{3}$

Exercice 5

Dans $[0~;~2\pi[$ : $\sin x = -\dfrac{1}{2}$

Solutions :

$x = \dfrac{7\pi}{6}$
et
$x = \dfrac{11\pi}{6}$

Exercice 6

$\cos(2x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

équivaut à :

$2x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
ou
$2x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

On divise par 2 :

$x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi$
ou
$x = -\dfrac{\pi}{8} + k\pi$

👉 Conseil : quand les deux côtés sont déjà des cosinus, on applique directement la formule sans chercher d’angle remarquable.