La somme des angles d'un triangle (2)

On sait que les points $B, C$ et $D$ sont alignés.

1. En observant le codage de la figure, calculer toutes les mesures d'angles de cette figure.

2. Quelle est la nature du triangle $CDE$ ?

1. On commence par lire le codage :

$BC = AC$ (un trait) donc le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

$AD = CD$ (deux traits) donc le triangle $ACD$ est isocèle en $D$.

Et on lit les angles donnés :

$\widehat{ABC} = 33^\circ$

$\widehat{DCE} = 48^\circ$

$\widehat{CDE} = 66^\circ$

Étape 1 : angles du triangle $ABC$

Comme $BC = AC$, on a les angles à la base égaux :

$\widehat{BAC} = \widehat{ABC} = 33^\circ$

Donc :

$\widehat{ACB} = 180^\circ - 33^\circ - 33^\circ = 114^\circ$

Étape 2 : angle $\widehat{ACD}$ (alignement $B,~C,~D$)

Les points $B,~C,~D$ sont alignés, donc les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ sont supplémentaires :

$\widehat{ACD} = 180^\circ - \widehat{ACB} = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$

Étape 3 : angles du triangle $ACD$

Comme $AD = CD$, le triangle $ACD$ est isocèle en $D$, donc :

$\widehat{CAD} = \widehat{ACD} = 66^\circ$

Alors :

$\widehat{ADC} = 180^\circ - 66^\circ - 66^\circ = 48^\circ$

Étape 4 : angles du triangle $CDE$

On connaît :

$\widehat{DCE} = 48^\circ$ et $\widehat{CDE} = 66^\circ$

Donc :

$\widehat{CED} = 180^\circ - 48^\circ - 66^\circ = 66^\circ$

Étape 5 : angles “composés” de la figure

en $A$ :

$\widehat{BAD} = \widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 33^\circ + 66^\circ = 99^\circ$

en $C$ (entre $CA$ et $CE$) :

$\widehat{ACE} = \widehat{ACD} + \widehat{DCE} = 66^\circ + 48^\circ = 114^\circ$

en $C$ (entre $CB$ et $CE$) :

Comme $\widehat{BCD} = 180^\circ$ et $\widehat{DCE} = 48^\circ$,

$\widehat{BCE} = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$

en $D$ (entre $DA$ et $DE$) :

$\widehat{ADE} = \widehat{ADC} + \widehat{CDE} = 48^\circ + 66^\circ = 114^\circ$

Récapitulatif des angles

$\widehat{ABC} = 33^\circ$ $\widehat{BAC} = 33^\circ$ $\widehat{ACB} = 114^\circ$ $\widehat{ACD} = 66^\circ$ $\widehat{CAD} = 66^\circ$ $\widehat{ADC} = 48^\circ$ $\widehat{DCE} = 48^\circ$ $\widehat{CDE} = 66^\circ$ $\widehat{CED} = 66^\circ$ $\widehat{BAD} = 99^\circ$ $\widehat{ACE} = 114^\circ$ $\widehat{BCE} = 132^\circ$ $\widehat{ADE} = 114^\circ$

2. En conclusion :

Dans le triangle $CDE$, $\widehat{CDE} = 66^\circ$ et $\widehat{CED} = 66^\circ$ donc le triangle $CDE$ est un triangle isocèle en $C$.