La somme des angles d'un triangle

I. Propriété fondamentale

Fais ce pliage avec une feuille de papier.

Sur ta feuille tu dessines un triangle $ABC$ que tu découpes, tu traces sur ton triangle la hauteur $[AH]$ avec ton équerre.

Pliage :

1. Tu amènes le point $A$ sur le point $H$.

2. Tu amènes le point $B$ sur le point $H$.

3. Tu amènes le point $C$ sur le point $H$.

Tu te rends compte que tu obtiens un rectangle (les pointillés sur le dessin) et que les angles $\widehat A$, $\widehat B$ et $\widehat C$ "s'alignent" parfaitement sur le côté du rectangle. La somme des trois angles forment donc un angle plat, c'est à dire la somme est égale à $180^\circ$.

Propriété :

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$.

Cela signifie que, quels que soient les côtés ou la forme du triangle, si on additionne les trois angles, on obtient toujours $180^\circ$.

II. Exemple d’application

Énoncé :
Dans le triangle $ABC$, on sait que :
$\widehat{A} = 70^\circ$ et $\widehat{B} = 45^\circ$.
Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{C}$ ?

👉 Conseil : fais un dessin à main levée

Solution :
On utilise la propriété :
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

Donc :
$70 + 45 + \widehat{C} = 180$
$\widehat{C} = 180 - (70 + 45) = 65^\circ$

L'angle $\widehat C$ mesure $65^\circ$.

III. Cas particuliers

1. Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, c’est-à-dire un angle de $90^\circ$.

Donc les deux autres angles se partagent les $90^\circ$ restants.

Exemple :

Si l’un des angles aigus mesure $35^\circ$, alors l’autre mesure :
$90 - 35 = 55^\circ$

2. Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur, donc deux angles égaux.

Exemple :
Dans un triangle isocèle où l’angle au sommet mesure $40^\circ$, alors les deux angles à la base sont égaux.
On a :
$40 + 2x = 180$
$2x = 140 \Rightarrow x = 70$
Donc les deux angles de la base mesurent $70^\circ$.

3. Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a trois côtés égaux.
Donc les trois angles sont également égaux.

Puisque la somme est toujours $180^\circ$ :

$\dfrac{180}{3} = 60^\circ$

Chaque angle d’un triangle équilatéral mesure donc $60^\circ$.