La convexité (1)

Exercice 1

Pour tout réel $x$, déterminer $f''(x)$.

On calcule d’abord la dérivée première :

$f'(x) = -6x^2 + 6x + 6$

Puis la dérivée seconde :

$f''(x) = -12x + 6$

En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe.

On étudie le signe de $f''(x) = -12x + 6$

On résout

$-12x + 6 = 0$

$-12x = -6$

$x = \dfrac{1}{2}$

Si $x < \dfrac{1}{2}$ alors $f''(x) > 0$ donc $f$ est convexe.
Si $x > \dfrac{1}{2}$ alors $f''(x) < 0$ donc $f$ est concave.

Donc

$f$ est convexe sur $]-\infty~;~\dfrac{1}{2}[$
$f$ est concave sur $]\dfrac{1}{2}~;~+\infty[$

La courbe possède-t-elle un point d’inflexion ?

Oui, car $f''$ change de signe en $x=\dfrac{1}{2}$.

Il y a donc un point d’inflexion d’abscisse $x = \dfrac{1}{2}$

Exercice 2

Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~8]$.

On calcule la dérivée : $f'(x) = (3-x)\left(e^{x}\right)' + (-1)e^{x}$

Or

$(3-x)' = -1$

Donc $f'(x) = -e^{x} + (3-x)e^{x}$

$f'(x) = (2-x)e^{x}$

Comme $e^{x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ dépend de $2-x$.

Donc

$f'(x) > 0$ si $x < 2$
$f'(x) = 0$ si $x = 2$
$f'(x) < 0$ si $x > 2$

Donc

$f$ est croissante sur $[0~;~2]$
$f$ est décroissante sur $[2~;~8]$

Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution.

$f$ est continue sur $[0~;~8]$.

$f(0)=1$
$f(2)=e^2-2 > 0$
$f(8)$ est très négatif.

Comme $f$ est strictement décroissante sur $[2~;~8]$, elle coupe l’axe une seule fois.

Par calcul numérique

$\alpha \approx 2{,}84$

En déduire le signe de $f$.

$f(x) > 0$ pour $x < \alpha$
$f(x) = 0$ pour $x = \alpha$
$f(x) < 0$ pour $x > \alpha$

Étudier la convexité.

On calcule

$f''(x) = (1-x)e^{x}$

Comme $e^{x} > 0$, le signe dépend de $1-x$.

$f$ est convexe sur $[0~;~1]$
$f$ est concave sur $[1~;~8]$

Coordonnées du point d’inflexion.

$x=1$

$f(1)=2e-2$

Le point d’inflexion est le point de coordonnées $(1~;~2e-2)$

Exercice 3

Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb R$.

Pour tout réel $x$, $2+x^2 > 0$

Donc le logarithme est défini sur $\mathbb R$

Calculer $f'(x)$.

$f'(x) = \dfrac{2x}{2+x^2}$

Construire le tableau de variations.

$f'(x)$ a le signe de $x$.

$f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$
$f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$

Limites :

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty$

Minimum en $0$ :

$f(0)=\ln(2)$

Résoudre $f(x)=\ln(3)$.

$\ln(2+x^2)=\ln(3)$

$2+x^2=3$

$x^2=1$

$x=\pm1$

Calculer $f''(x)$.

$f''(x)=\dfrac{4-2x^2}{(2+x^2)^2}$

Étudier le signe de $f''$.

$4-2x^2=0$

$x^2=2$

$x=\pm\sqrt{2}$

Donc

$f$ est convexe sur $]-\sqrt{2}~;~\sqrt{2}[$
$f$ est concave ailleurs.

Tangentes en $2$ et $-2$.

$f(2)=\ln(6)$
$f'(2)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Tangente en $2$ :

$y=\dfrac{2}{3}(x-2)+\ln(6)$

En $-2$ :

$f'(-2)=-\dfrac{2}{3}$

$y=-\dfrac{2}{3}(x+2)+\ln(6)$