Point d'inflexion

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Définition
Soit ff une fonction définie et dérivable sur un intervalle II, et CfC_f​ sa courbe représentative.

S'il existe un point AA de CfC_f, tel que CfC_f​ traverse la tangente en ce point, alors AA est un point d'inflexion.

Exemple : la fonction cube f(x)=x3f(x)=x^3, définie sur R\mathbb{R}, admet l'origine du repère pour point d'inflexion.

La représentation graphique de la fonction traverse sa tangente en OO, d'équation y=0y=0.

On remarque que la fonction change de convexité en son point d'inflexion :
sur ];0]]-\infty;0] ff est concave ; sur [0;+[[0;+\infty[ ff est convexe.

Propriétés
Soit une fonction ff définie et dérivable deux fois sur un intervalle II, CfC_f son graphe, et aRa\in \textbf R.

Si la dérivée ff' change de sens de variation en aa, alors CfC_f admet un point d'inflexion en aa, et le point de la courbe a pour coordonnées (a;f(a))(a;f(a)).

\circ\quad Si la dérivée seconde ff'' s'annule en aa et change de signe, alors cfc_f admet un point d'inflexion en aa.

\circ\quad En ce point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Exemple :

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x36x2+7f(x)=x^3-6x^ 2+7
Étudier la convexité de ff et préciser les éventuels points d'inflexion.

Solution :

La fonction ff est dérivable, donc continue sur R\mathbb{R} .

f(x)=3x212x+7f'(x)=3x^2-12x+7

f(x)=6x12f''(x)=6x-12

f(x)=0    6x12=0    x=2f''(x)=0\iff 6x-12=0\iff x=2

On peut résumer l'étude de la convexité de ff dans le tableau suivant :
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Explications :

Signe de f(x)f''(x) : la dérivée seconde s'annule en 22.

\circ\quad Variation de f(x)f'(x) : la dérivée change de sens de variation en 22.

\circ\quad Convexité de ff : la fonction ff change de convexité, et il existe un point d'inflexion en (2,f(2))(2,f(2)).

\circ\quad Vérification graphique : on constate que la courbe de ff traverse sa tangente en 22.

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