Point d'inflexion

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I. Définition

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, et $C_f$​ sa courbe représentative.

S'il existe un point $A$ de $C_f$, tel que $C_f$​ traverse la tangente en ce point, alors $A$ est un point d'inflexion.

Exemple : la fonction cube $f(x)=x^3$, définie sur $\mathbb{R}$, admet l'origine du repère pour point d'inflexion.

La représentation graphique de la fonction traverse sa tangente en $O$, d'équation $y=0$.

On remarque que la fonction change de convexité en son point d'inflexion :
sur $]-\infty;0]$ $f$ est concave ; sur $[0;+\infty[$ $f$ est convexe.

II. Propriétés

Soit une fonction $f$ définie et dérivable deux fois sur un intervalle $I$, $C_f$ son graphe, et $a\in \textbf R$.

Si la dérivée $f'$ change de sens de variation en $a$, alors $C_f$ admet un point d'inflexion en $a$, et le point de la courbe a pour coordonnées $(a;f(a))$.

$\circ\quad$ Si la dérivée seconde $f''$ s'annule en $a$ et change de signe, alors $c_f$ admet un point d'inflexion en $a$.

$\circ\quad$ En ce point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^ 2+7$
Étudier la convexité de $f$ et préciser les éventuels points d'inflexion.

Solution :

La fonction $f$ est dérivable, donc continue sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x)=3x^2-12x+7$

$f''(x)=6x-12$

$f''(x)=0\iff 6x-12=0\iff x=2$

On peut résumer l'étude de la convexité de $f$ dans le tableau suivant :

Explications :

Signe de $f''(x)$ : la dérivée seconde s'annule en $2$.

$\circ\quad$ Variation de $f'(x)$ : la dérivée change de sens de variation en $2$.

$\circ\quad$ Convexité de $f$ : la fonction $f$ change de convexité, et il existe un point d'inflexion en $(2,f(2))$.

$\circ\quad$ Vérification graphique : on constate que la courbe de $f$ traverse sa tangente en $2$.