Lien entre dérivée et convexité
Propriété :
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle . Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
est convexe sur .
est entièrement située au-dessus de ses tangentes.
est croissante sur .
est positive sur .
Remarques :
Les deux premiers points sont équivalents par définition d’une fonction convexe.
Les deux points suivants sont équivalents car est la dérivée de .
Propriété :
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle . Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
est concave sur .
est entièrement située en dessous de ses tangentes.
est décroissante sur soit pour tout réel , .
est négative sur soit pour tout réel , .
Exemple :
On considère la fonction définie sur par .