Convexité et dérivée seconde

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Lien entre dérivée et convexité

Propriété :
Soit f\mathcal{f} une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle II. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

f\circ\quad \mathcal{f} est convexe sur II.

Cf\circ\quad C_{\mathcal{f}} est entièrement située au-dessus de ses tangentes.

f\circ\quad \mathcal{f}' est croissante sur II.

f\circ\quad \mathcal{f}'' est positive sur II.

Remarques :

\circ\quad Les deux premiers points sont équivalents par définition d’une fonction convexe.

\circ\quad Les deux points suivants sont équivalents car ff'' est la dérivée de ff'.

Propriété :
Soit f\mathcal{f} une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle II. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

f\circ\quad \mathcal{f} est concave sur II.

Cf\circ\quad C_{\mathcal{f}} est entièrement située en dessous de ses tangentes.

f\circ\quad \mathcal{f}' est décroissante sur IIsoit pour tout réel xIx \in I, f(x)0f''(x) \geq 0.

f\circ\quad \mathcal{f}'' est négative sur IIsoit pour tout réel xIx \in I, f(x)0f''(x) \leq 0.

Exemple :

On considère la fonction gg définie sur R+\mathbb R^+ par g(x)=x3g(x) = x^3 .

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