Convexité et dérivée seconde

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Lien entre dérivée et convexité

Propriété :
Soit $\mathcal{f}$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

$\circ\quad \mathcal{f}$ est convexe sur $I$.

$\circ\quad C_{\mathcal{f}}$ est entièrement située au-dessus de ses tangentes.

$\circ\quad \mathcal{f}'$ est croissante sur $I$.

$\circ\quad \mathcal{f}''$ est positive sur $I$.

Remarques :

$\circ\quad$ Les deux premiers points sont équivalents par définition d’une fonction convexe.

$\circ\quad$ Les deux points suivants sont équivalents car $f''$ est la dérivée de $f'$.

Propriété :
Soit $\mathcal{f}$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

$\circ\quad \mathcal{f}$ est concave sur $I$.

$\circ\quad C_{\mathcal{f}}$ est entièrement située en dessous de ses tangentes.

$\circ\quad \mathcal{f}'$ est décroissante sur $I$soit pour tout réel $x \in I$, $f''(x) \geq 0$.

$\circ\quad \mathcal{f}''$ est négative sur $I$soit pour tout réel $x \in I$, $f''(x) \leq 0$.

Exemple :

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb R^+$ par $g(x) = x^3$ .