Dérivée seconde

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Dans cette leçon, tu vas découvrir ce qu’est la dérivée seconde d’une fonction. Tu apprendras à la calculer et à comprendre son rôle dans l’analyse de la courbe d’une fonction, notamment pour étudier la convexité. Mots-clés : dérivée seconde, deux fois dérivable, fonction polynôme, variation de la dérivée, calcul de dérivée.

I. Définition


Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II. On note f′f' sa fonction dérivée. Lorsque f′f' est dérivable sur II, on note f′′f'' sa dérivée.
f′′f'' est appelée la dérivée seconde de ff sur II.

On dit que ff est deux fois dérivable.

II. Exemple


Soit ff la fonction polynôme définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x3+2x2+13x+9f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 13x + 9.
ff est dérivable sur R\mathbb{R} et pour tout réel xx, on a :
f′(x)=12x2+4x+13f'(x) = 12x^2 + 4x + 13.

f′f' est un polynôme qui est donc dérivable sur R\mathbb{R}, et pour tout réel xx, on a :
f′′(x)=24x+4f''(x) = 24x + 4.

Ainsi, la dérivée seconde de la fonction ff est la fonction f′′f'' définie sur R\mathbb{R} par :
f′′(x)=24x+4f''(x) = 24x + 4.

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