Approche graphique de la convexité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $I$. $\mathcal C$ est sa courbe représentative dans un

repère.

$\circ\quad$ Dire que 𝑓 est convexe sur $I$ signifie que pour tous points $A$ et $B$ distincts de $\mathcal C$, le segment $[AB]$ est au dessus de la courbe $\mathcal C$ entre $A$ et $B$.

$\circ\quad$ Dire que 𝑓 est concave sur $I$ signifie que pour tous points $A$ et $B$ distincts de $\mathcal C$, le segment $[AB]$ est au dessous de la courbe entre $A$ et $B$.

Propriétés :
Soient $\mathcal{f}$ une fonction et $C_{\mathcal{f}}$ sa courbe représentative dans un repère.
Soit $I$ un intervalle sur lequel $\mathcal{f}$ est dérivable.

$\circ\quad$ Sur $I$, $\mathcal{f}$ est convexe si et seulement si $C_{\mathcal{f}}$ est au-dessus de toutes ses tangentes.

$\circ\quad$ Sur $I$, $\mathcal{f}$ est concave si et seulement si $C_{\mathcal{f}}$ est en dessous de toutes ses tangentes.

Exemples : fonction carré $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ , et fonction inverse $g(x)=\dfrac 1x$ sur $\mathbb{R}^*$.

Exercice d'application :
Trace à main levée la courbe représentative des fonctions suivantes et
précise leur convexité sur les intervalles $I$ précisés :

$f(x)=-x^2$, sur $I=\mathbb{R}$
$g(x)=-\dfrac 1x$ sur $I = \mathbb{R}^-$
$h(x)=\sqrt x$ sur $I=\mathbb{R}^+$

Solution