Fonctions exponentielles : un peu d'approfondissement

Exercice 1

On considère $f(x)=e^x-x-1$.

1) Calculer $f'(x)$

On dérive terme à terme.

La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
La dérivée de $-x$ est $-1$.
La dérivée de $-1$ est $0$.

Donc : $f'(x)=e^x-1$

👉 Conseil : cette expression est idéale car elle s’annule en $0$.

2) Étudier le signe de $f'(x)$

On résout : $e^x-1=0$

Cela donne : $e^x=1$

Or on sait que : $e^0=1$

Donc : $x=0$

Ensuite :

• si $x<0$, alors $e^x<1$ donc $f'(x)<0$

• si $x>0$, alors $e^x>1$ donc $f'(x)>0$

3) En déduire le sens de variation

Donc :

$f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$
$f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$

4) Étudier le signe de $f(x)$

On calcule : $f(0)=e^0-0-1=1-1=0$

On peut récapituler :

$\begin{array}{c|ccc|} x & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & _0 & \nearrow \\\end{array}$

Comme $f$ décroît puis croît et atteint un minimum en $0$ : $f(x)\geq 0$ pour tout réel $x$

Donc : $f(x)\geq 0$ sur $\mathbb R$

👉 Conseil : minimum nul en $0$, donc la fonction est toujours positive ou nulle.

Exercice 2

On considère $g(x)=e^{2x}-2e^x$.

1) Calculer $g'(x)$

La dérivée de $e^{2x}$ est : $2e^{2x}$

La dérivée de $-2e^x$ est : $-2e^x$

Donc : $g'(x)=2e^{2x}-2e^x$

2) Factoriser

On met $2e^x$ en facteur :

$g'(x)=2e^x(e^x-1)$

👉 Conseil : $e^{2x}=e^x \times e^x$.

3) Étudier le signe de $g'(x)$

On sait que : $e^x>0$

Donc le signe de $g'(x)$ est le même que le signe de $(e^x-1)$

On résout :

$e^x-1=0$

$e^x=1$

Donc :

$x=0$

Ainsi :

• si $x<0$, $e^x<1$ donc $g'(x)<0$

• si $x>0$, $e^x>1$ donc $g'(x)>0$

4) Tableau de variation

Donc :

$g$ décroît sur $]-\infty~;~0]$
$g$ croît sur $[0~;~+\infty[$

On calcule :

$g(0)=e^0-2e^0=1-2=-1$

Minimum : $-1$.

👉 Conseil : quand l’annulation est en $0$, les calculs deviennent très simples.

Exercice 3

Résoudre :

$e^{2x}-3e^x+2=0$

1) Changement de variable

On pose : $X=e^x$

Alors : $X^2-3X+2=0$

2) Factorisation

$X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$

Donc : $X=1$ ou $X=2$

3) Retour à $x$

$e^x=1 \Rightarrow x=0$ ou

$e^x=2$ reste sous forme exacte (tant qu'on n'a pas la fonction logarithme népérien)

Solutions :

$x=0$ ou $e^x=2$

👉 Conseil : sans logarithme, on laisse la solution $e^x=2$ telle quelle.