Ce chapitre de 1re doit être parfaitement maîtrisé pour pouvoir appréhender la fonction logarithme népérien.
I. Existence et unicité
La fonction exponentielle est l'unique fonction, dérivable sur R, vérifiant
∘ f′=f et
∘ f(0)=1
Définition
Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp.
On obtient donc :
Définition
On appelle fonction exponentielle, notée exp, l'unique fonction dérivable sur R vérifiant :
{∀x∈R,exp′(x)=exp(x)exp(0)=1
On note e le nombre exp(1).
On peut obtenir une valeur approchée de e par divers moyens. On trouve e≈2,72.
II. Propriétés algébriques de la fonction exp
∘ ∀(x,y)∈R2, exp(x+y)=exp(x)exp(y)
∘ exp(x)exp(−x)=1
Il est alors facile d'en déduire les propriétés suivantes qui en découlent directement :
Conséquences
∘ ∀x∈R, exp(x)>0
∘ ∀x∈R, exp(−x)=exp(x)1
∘ ∀(x,y)∈R2, exp(x−y)=exp(y)exp(x)
∘ ∀(x,n)∈R×Z, exp(nx)=(exp(x))n
III. Signe de la fonction exponentielle
Propriété : ∀x∈R,ex>0.
Exemples : e5>0 ; e−2>0
IV. Méthode d'Euler
La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives de la courbe de cette fonction.
Puisque f est dérivable sur R, et que pour tout x de R, on a : f′(x)=f(x), on peut écrire :
Pour tout a de R et pour tout h proche de 0, f(a+h)=(1+h)f(a).
Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi a=0 et h=0,1. Ce qui donne : f(h)=1+h
Et on réitère le procédé en choisissant a=h, on obtient f(2h)=(1+h)f(h)=(1+h)2
On peut montrer alors pour tout n entier naturel, f(nh)=(1+h)n et les termes f(nh) sont les termes d'une suite géométrique de raison (1+h).
En voici un exemple pour des valeurs sur [0;2].

puis sur [0;4,5]
