La fonction exponentielle

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I. Existence et unicité

La fonction exponentielle est l'unique fonction, dérivable sur $\mathbb R$, vérifiant
$\circ\quad$ $f' = f$ et
$\circ\quad$ $f(0) = 1$

Définition
Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et se note $\text{exp}$.

On obtient donc :

Définition
On appelle fonction exponentielle, notée $\text{exp}$, l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ vérifiant :
$\begin{cases} \forall x \in \mathbb R, \exp'(x) = \exp(x) \\ \exp(0) = 1\end{cases}$

On note $e$ le nombre $\exp(1)$.

On peut obtenir une valeur approchée de $e$ par divers moyens. On trouve $e \approx 2,72$.

II. Propriétés algébriques de la fonction exp

$\circ\quad$ $\forall (x,y) \in \mathbb R^2$, $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)$
$\circ\quad$ $\exp(x)\exp(-x) = 1$

Il est alors facile d'en déduire les propriétés suivantes qui en découlent directement :
Conséquences
$\circ\quad$ $\forall x\in\mathbb R$, $\exp(x) \gt 0$
$\circ\quad$ $\forall x\in\mathbb R$, $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$
$\circ\quad$ $\forall (x,y) \in \mathbb R^2$, $\exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
$\circ\quad$ $\forall (x,n) \in \mathbb R\times \mathbb Z$, $\exp(nx) = (\exp(x))^n$

IV. Méthode d'Euler

La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives de la courbe de cette fonction.

Puisque $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, et que pour tout $x$ de $\mathbb R$, on a : $f'(x) = f(x)$, on peut écrire :
Pour tout $a$ de $\mathbb R$ et pour tout $h$ proche de $0$, $f(a + h) = (1 + h)f(a)$.

Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi $a = 0$ et $h = 0,1$. Ce qui donne : $f(h) = 1 + h$

Et on réitère le procédé en choisissant $a = h$, on obtient $f(2h) = (1 + h)f(h) = (1 + h)^2$

On peut montrer alors pour tout $n$ entier naturel, $f(nh) = (1 + h)^n$ et les termes $f(nh)$ sont les termes d'une suite géométrique de raison $(1 + h)$.

En voici un exemple pour des valeurs sur $[0 ; 2]$.

puis sur $[0 ; 4,5]$