La fonction exponentielle

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Ce chapitre de 1re doit être parfaitement maîtrisé pour pouvoir appréhender la fonction logarithme népérien.

I. Existence et unicité

La fonction exponentielle est l'unique fonction, dérivable sur R\mathbb R, vérifiant
\circ\quad f=ff' = f et
\circ\quad f(0)=1f(0) = 1

Définition
Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp\text{exp}.

On obtient donc :


Définition
On appelle fonction exponentielle, notée exp\text{exp}, l'unique fonction dérivable sur R\mathbb R vérifiant :
{xR,exp(x)=exp(x)exp(0)=1\begin{cases} \forall x \in \mathbb R, \exp'(x) = \exp(x) \\ \exp(0) = 1\end{cases}

On note ee le nombre exp(1)\exp(1).

On peut obtenir une valeur approchée de ee par divers moyens. On trouve e2,72e \approx 2,72.

II. Propriétés algébriques de la fonction exp


\circ\quad (x,y)R2\forall (x,y) \in \mathbb R^2, exp(x+y)=exp(x)exp(y)\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)
\circ\quad exp(x)exp(x)=1\exp(x)\exp(-x) = 1

Il est alors facile d'en déduire les propriétés suivantes qui en découlent directement :
Conséquences
\circ\quad xR\forall x\in\mathbb R , exp(x)>0\exp(x) \gt 0
\circ\quad xR\forall x\in\mathbb R , exp(x)=1exp(x)\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}
\circ\quad (x,y)R2\forall (x,y) \in \mathbb R^2, exp(xy)=exp(x)exp(y)\exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
\circ\quad (x,n)R×Z\forall (x,n) \in \mathbb R\times \mathbb Z, exp(nx)=(exp(x))n\exp(nx) = (\exp(x))^n

III. Signe de la fonction exponentielle

Propriété : xR,ex>0\forall x \in \mathbb{R}, e^x \gt 0.

Exemples : e5>0e^5 \gt 0 ; e2>0e^{-2}\gt 0

IV. Méthode d'Euler

La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives de la courbe de cette fonction.

Puisque ff est dérivable sur R\mathbb R, et que pour tout xx de R\mathbb R, on a : f(x)=f(x)f'(x) = f(x), on peut écrire :
Pour tout aa de R\mathbb R et pour tout hh proche de 00, f(a+h)=(1+h)f(a)f(a + h) = (1 + h)f(a).

Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi a=0a = 0 et h=0,1h = 0,1. Ce qui donne : f(h)=1+hf(h) = 1 + h

Et on réitère le procédé en choisissant a=ha = h, on obtient f(2h)=(1+h)f(h)=(1+h)2f(2h) = (1 + h)f(h) = (1 + h)^2

On peut montrer alors pour tout nn entier naturel, f(nh)=(1+h)nf(nh) = (1 + h)^n et les termes f(nh)f(nh) sont les termes d'une suite géométrique de raison (1+h)(1 + h).

En voici un exemple pour des valeurs sur [0;2][0 ; 2].

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puis sur [0;4,5][0 ; 4,5]

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