Étude et variations de fonctions exponentielles

Exercice 1

On considère $f(x)=e^x$.

1. Calculer $f'(x)$.
   La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
   Donc $f'(x)=e^x$.
   👉 Conseil : c’est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

2. Étudier le signe de $f'(x)$.
   On sait que pour tout réel $x$, $e^x>0$.
   Donc $f'(x)>0$ sur $\mathbb R$.
   👉 Conseil : retiens bien que $e^x$ n’est jamais nul.

3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb R$.
   Comme $f'(x)>0$ sur $\mathbb R$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
   👉 Conseil : dérivée positive $\Rightarrow$ fonction croissante.

4. Calculer $f(0)$ et donner l’équation de la tangente en $0$.
   $f(0)=e^0=1$.

Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ est : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

On calcule $f'(0)=e^0=1$.

Donc une équation de la tangente est : $y=1\times x+1$
$y=x+1$.
👉 Conseil : la tangente en $0$ est simple car $f(0)=1$ et $f'(0)=1$.

Exercice 2

On considère $g(x)=e^{2x}$.

1. Calculer $g'(x)$.
   On utilise la règle : $(e^{ax})'=a e^{ax}$.
   Donc $g'(x)=2e^{2x}$.
   👉 Conseil : pense toujours à multiplier par la dérivée de l’exposant.

2. Étudier le signe de $g'(x)$.
   On sait que $e^{2x}>0$ pour tout $x$.
   Donc $2e^{2x}>0$ pour tout $x$.
   Donc $g'(x)>0$ sur $\mathbb R$.
   👉 Conseil : un nombre positif multiplié par $e^{2x}$ reste positif.

3. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb R$.
   Comme $g'(x)>0$ sur $\mathbb R$, la fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

Exercice 3

On considère $h(x)=e^{-x}$.

1. Calculer $h'(x)$.
   On dérive : $(e^{ax})'=a e^{ax}$.
   Ici $a=-1$.
   Donc $h'(x)=-e^{-x}$.
   👉 Conseil : attention au signe du coefficient.

2. Étudier le signe de $h'(x)$.
   On sait que $e^{-x}>0$ pour tout $x$.
   Donc $-e^{-x}<0$ pour tout $x$.
   Donc $h'(x)<0$ sur $\mathbb R$.

3. En déduire le sens de variation de $h$ sur $\mathbb R$.
   Comme $h'(x)<0$ sur $\mathbb R$, la fonction $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
   👉 Conseil : dérivée négative $\Rightarrow$ fonction décroissante.

Exercice 4

On considère $k(x)=e^{3x+1}$.

1. Calculer $k'(x)$.
   On utilise la règle : $(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$.
   Ici $u(x)=3x+1$ donc $u'(x)=3$.

Donc $k'(x)=3e^{3x+1}$.
👉 Conseil : dérive d’abord l’intérieur.

2. Étudier le signe de $k'(x)$.
   On sait que $e^{3x+1}>0$ pour tout $x$.
   Donc $3e^{3x+1}>0$ pour tout $x$.
   Donc $k'(x)>0$ sur $\mathbb R$.

3. En déduire le sens de variation de $k$ sur $\mathbb R$.
   Comme $k'(x)>0$ sur $\mathbb R$, la fonction $k$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

👉 Conseil général : pour $e^{ax+b}$, le signe dépend uniquement de $a$.