Équations du second degré : résolution par changement de variable

1. $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Posons $X = x^2$, donc $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ équivaut à : $X^2 - 3X - 4 = 0$

$\Delta = 25 = 5^2$

L'équation admet donc deux solutions : $X_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1$ et $X_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$

Or $X = x^2$, donc : $x^2 = -1$ ou $x^2 = 4$ $x^2 = -1$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.

$x^2 = 4$ équivaut à x = 2 ou x = -2

D'où : $\boxed{S = \lbrace-2; 2\rbrace}$

2. $3x^4 - 11x^2 + 6 = 0$

on effectue un changement de variable en posant $X = x^2$ ; on notera que $X\ge 0$
$3x^4 - 11x^2 + 6 = 0 \Longleftrightarrow 3X^2 - 11X + 6 = 0$
Utilisons le discriminant : $\Delta = b^2-4ac = 11^2 - 4\times3\times 6 = 49=7^2$ d'où
deux racines distinctes $x_1=2/3 \text{ et } x_2=3$ toutes deux positives
$X = 2/3 \Longleftrightarrow x^2 = 2/3 \Longleftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \text{ ou } x = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$X = 3 \Longleftrightarrow x^2 = 3 \Longleftrightarrow x = -\sqrt 3 \text{ ou } \sqrt 3$
d'où $S = \left\lbrace -\sqrt 3\; ;\; -\sqrt{\dfrac{2}{3}} \; ;\; \sqrt{\dfrac{2}{3}} \; ;\;\sqrt 3 \right\rbrace$

3. $2 x + 5 \sqrt{x} - 3 = 0$

   Posons $X = \sqrt{x}$, $x - 5\sqrt{x} - 36 = 0$ équivaut à : $X^2 - 5X - 36 = 0$

Calculons le discriminant : $\Delta = 25 + 4 \times 36 = 169 = 13^2$

L'équation admet donc deux solutions : $X_1 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4$ et $X_2 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9$

Or $X = \sqrt{x}$, donc : $\sqrt{x} = -4$ ou $\sqrt{x} = 9$ $\sqrt{x} = -4$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.

$\sqrt{x} = 9$ équivaut à x = 81

D'où : $\boxed{S = \lbrace81\rbrace}$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
Posons $X = x^2$, donc $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ équivaut à :
$X^2 - 3X - 4 = 0$
$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
L'équation admet donc deux solutions :
$X_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1$ et $X_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$
Or $X = x^2$, donc :
$x^2 = -1$ ou $x^2 = 4$

$x^2 = -1$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.
$x^2 = 4$ équivaut à x = 2 ou x = -2

D'où : $\boxed{S = \lbrace-2; 2\rbrace}$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $x - 5\sqrt{x} - 36 = 0$

Posons $X = \sqrt{x}$, $x - 5\sqrt{x} - 36 = 0$ équivaut à :
$X^2 - 5X - 36 = 0$

Calculons le discriminant : $\Delta = 25 + 4 \times 36 = 169 = 13^2$

L'équation admet donc deux solutions :
$X_1 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4$ et $X_2 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9$

Or $X = \sqrt{x}$, donc :
$\sqrt{x} = -4$ ou $\sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = -4$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.
$\sqrt{x} = 9$ équivaut à $x = 81$

D'où : $\boxed{S = \lbrace81\rbrace}$