Entraînement

Résoudre une équation du second degré avec le discriminant réduit : méthode et exercices

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Énoncé

Exercice 1 : le discriminant réduit

Soit l'équation ax2+2b′x+c=0ax^2 + 2b'x + c = 0 et soit δ′=b′2−ac\delta' = b'^2 - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de δ′\delta' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de δ′\delta', aa et b′b'.

Exercice 2

Résoudre dans R\mathbb{R} les équations :
7x2−12x+5=07x^2 - 12x + 5 = 0 et 7x2+12x+5=07x^2 + 12x + 5 = 0.
Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?

Exercice 3

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.

Révéler le corrigé

Exercice 1

Soit l'équation (E)  :  ax2+2b′x+c=0(E)\;:\;ax^2+2b'x+c=0 et soit δ′=b′2−ac\delta '=b'^2-ac

On pose b=2b′b=2b'.

Résoudre (E) revient à résoudre l'équation ax2+bc+c=0ax^2+bc+c=0 dont le discriminant vaut Δ=b2−4ac=(2b′)2−4ac=b′2−4ac=4(b′2−ac)=4δ′\Delta = b^2-4ac=(2b')^2-4ac=b'^2-4ac=4(b'^2-ac)=4\delta'

Δ\Delta et δ′\delta' sont donc de même signe.

Si δ′<0\delta' < 0 alors (E) n'admet pas de solution

Si δ′=0\delta' = 0 alors (E) admet une solution double x0=−b2a=−−2b′2a=−b′ax_0=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{-2b'}{2a}=\dfrac {-b'}{a}

Si δ′>0\delta' > 0 alors (E) admet deux solutions distinctes x1=−b−Δ2a=−2b′−4δ′2a=−2b′−2δ′2a=−b′−δ′ax_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-\sqrt{4\delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'-2\sqrt{\delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\delta'}}{a}

x2=−b+Δ2a=−b′+δ′ax_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\delta'}}{a}

Exercice 2

1. 7x2−12x+5=0Δ=4=227x^2 - 12x + 5 = 0 \quad \Delta = 4 =2^2

On a deux racines distinctes :

x1=−(−12)−214=57 et x2=−(−12)+214=1x_1=\dfrac{-(-12)-2}{14}=\dfrac 5 7 \text{ et } x_2=\dfrac{-(-12)+2}{14}=1

d'où S={5/7;1}S = \lbrace5/7 ; 1\rbrace

2. 7x2+12x+5=0Δ=4=227x^2 + 12x + 5 = 0 \quad \Delta = 4 =2^2 , toujours deux racines distinctes

x1′=−12−214=−1 et x2′=−12+214=−57x_1'=\dfrac{-12-2}{14}=-1\text{ et } x_2'=\dfrac{-12+2}{14}=\dfrac{-5}{7}

d'où S={−1;−5/7}S = \lbrace -1 ; - 5/7\rbrace

On constate que les solutions x1=−x2′, et x2=−x1′x_1 = - x_2', \text{ et } x_2 = - x_1'

Les discriminants sont égaux, ce qui est sans surprise puisque l'on y fait intervenir le carré de bb : 122=(−12)212^2 = (-12)^2

Concernant les racines : x1=−(−12)−214=−−12+214=−x2′x_1=\dfrac{-(-12)-2}{14}=-\dfrac{-12+2}{14}=-x_2' x2=−(−12)+214=−−12−214=−x1′x_2=\dfrac{-(-12)+2}{14}=-\dfrac{-12-2}{14}=-x_1'

Pour les deux équations, le produit des racines était identique, et les sommes des racines étaient opposées. A titre d'exercice, on pourrait démontrer ce constat dans le cas général c'est à dire pour des équations du type ax2−∣b∣x+c=0etax2+∣b∣x+c=0ax^2-|b|x+c=0 \quad \text{et} \quad ax^2+|b|x+c=0, avec aa, bb et cc réels.

Exercice 3

Soit nn le second nombre entier : les 3 nombres s'écrivent donc n−1n-1 ; nn ; n+1n+1

A la lecture de l'énoncé, on obtient l'équation suivante :

(n−1)2+n2+(n+1)2=509(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 509 soit

n2−2n+1+n2+n2+2n+1=509n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1 = 509

ce qui donne 3n2=5073n^2 = 507 ou encore n2=169=132n^2 = 169 = 13^2

On obtient : n=−13n = -13 ou n=13n = 13

Vérification : (−14)2+(−13)2+(−12)2=509(-14)^2 + (-13)^2 + (-12)^2 = 509 et 122+132+142=50912^2 + 13^2 + 14^2 = 509. Les deux possibilités conviennent.

Conclusion : les entiers consécutifs sont donc : −14,−13,−12-14, -13, -12 d'une part et 12,13,1412, 13, 14 d'autre part.

Exercice précédent
Équations du second degré : résolution par changement de variable
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Équations du second degré : nombre d'or et fonction rationnelle