Résoudre une équation du second degré avec le discriminant réduit : méthode et exercices - digiSchool
Entraînement
Résoudre une équation du second degré avec le discriminant réduit : méthode et exercices
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Tu maîtrises le discriminant réduit puis tu compares deux équations jumelles pour anticiper leurs racines. Enfin, tu cherches trois entiers consécutifs dont la somme des carrés vaut 509, avec une méthode pas à pas qui t’évite les pièges.
Mots clés SEO : discriminant réduit, équation du second degré, comparaison de solutions, entiers consécutifs, somme des carrés
Énoncé
Exercice 1 : le discriminant réduit
Soit l'équation ax2+2b′x+c=0 et soit δ′=b′2−ac. En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de δ′ le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de δ′, a et b′.
Exercice 2
Résoudre dans R les équations : 7x2−12x+5=0 et 7x2+12x+5=0. Comparer les solutions des deux équations. Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?
Exercice 3
Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.
Révéler le corrigé
Exercice 1
Soit l'équation (E):ax2+2b′x+c=0 et soit δ′=b′2−ac
On pose b=2b′.
Résoudre (E) revient à résoudre l'équation ax2+bc+c=0 dont le discriminant vaut Δ=b2−4ac=(2b′)2−4ac=b′2−4ac=4(b′2−ac)=4δ′
Δ et δ′ sont donc de même signe.
Si δ′<0 alors (E) n'admet pas de solution
Si δ′=0 alors (E) admet une solution double x0=−2ab=−2a−2b′=a−b′
Si δ′>0 alors (E) admet deux solutions distinctes x1=2a−b−Δ=2a−2b′−4δ′=2a−2b′−2δ′=a−b′−δ′
x2=2a−b+Δ=a−b′+δ′
Exercice 2
1. 7x2−12x+5=0Δ=4=22
On a deux racines distinctes :
x1=14−(−12)−2=75 et x2=14−(−12)+2=1
d'où S={5/7;1}
2. 7x2+12x+5=0Δ=4=22 , toujours deux racines distinctes
x1′=14−12−2=−1 et x2′=14−12+2=7−5
d'où S={−1;−5/7}
On constate que les solutions x1=−x2′, et x2=−x1′
Les discriminants sont égaux, ce qui est sans surprise puisque l'on y fait intervenir le carré de b : 122=(−12)2
Concernant les racines : x1=14−(−12)−2=−14−12+2=−x2′x2=14−(−12)+2=−14−12−2=−x1′
Pour les deux équations, le produit des racines était identique, et les sommes des racines étaient opposées. A titre d'exercice, on pourrait démontrer ce constat dans le cas général c'est à dire pour des équations du type ax2−∣b∣x+c=0etax2+∣b∣x+c=0, avec a, b et c réels.
Exercice 3
Soit n le second nombre entier : les 3 nombres s'écrivent donc n−1 ; n ; n+1
A la lecture de l'énoncé, on obtient l'équation suivante :
(n−1)2+n2+(n+1)2=509 soit
n2−2n+1+n2+n2+2n+1=509
ce qui donne 3n2=507 ou encore n2=169=132
On obtient : n=−13 ou n=13
Vérification : (−14)2+(−13)2+(−12)2=509 et 122+132+142=509. Les deux possibilités conviennent.
Conclusion : les entiers consécutifs sont donc : −14,−13,−12 d'une part et 12,13,14 d'autre part.