Équation cartésienne d'une droite

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}(-3~;~-3)$.
Ainsi une équation cartésienne de $(AB)$ est de la forme $3x-3y+c=0$.
Le point $A(6~;~2)$ appartient à $(AB)$ équivaut à dire :
$3\times6-3\times2+c=0$ soit $12+c=0$ ou encore $c=-12$.
Une équation cartésienne de $(AB)$ est par conséquent : $3x-3y-12=0$.

👉 Conseil : pour trouver une équation cartésienne, pars toujours d’un vecteur directeur puis utilise un point de la droite pour déterminer la constante.

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(-1~;~-1)$.
Déterminons les coordonnées d'un point de cette droite.
Prenons $x=1$ alors $-1+y-4=0$ soit $y=5$.
Ainsi un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(-1~;~-1)$ et elle passe par $C(1~;~5)$.
$(d)$ est la droite passant par $C(1~;~5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1~;~-1)$.

👉 Conseil : choisir une valeur simple pour $x$ permet souvent de trouver rapidement un point de la droite.

On constate que $\overrightarrow{AB}=3\vec{u}$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(AB)$ et $(d)$ sont parallèles.
On peut vérifier que le point $C(1~;~5)$ n'est pas un point de la droite $(AB)$ (car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de $(AB)$).
Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont parallèles et non confondues.

👉 Conseil : deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et confondues seulement si elles ont en plus un point commun.