Système de deux équations linéaires à deux inconnues (1)

Exercice 1

1. a. Regardons si les nombres $x=10$ et $y=2$ vérifient chacune des deux équations :

$45\times10+30\times2=450+60=510\checkmark$
$27\times10+20\times2=270+40=310\neq316$

Le couple $(10~;~2)$ n'est donc pas solution du système.

👉 Conseil : pour tester un couple, remplace toujours $x$ et $y$ dans chaque équation.

b. Nous allons résoudre ce système à l'aide de combinaisons linéaires :
$\left\lbrace\begin{matrix} 45x+30y=510~(\times20)\\ 27x+20y=316~(\times30) \end{matrix}\right.$

$\begin{array}{rcccl} &900x&+&600y&=10~200\\ -&810x&+&600y&=9~480\\ \hline &90x&&=720\\ &&\text{donc}&x&=8 \end{array}$

On reporte ce résultat dans la première équation :
$45\times8+30y=510$ soit $360+30y=510$ donc $30y=150$ d'où $y=5$.

On vérifie que le couple $(8~;~5)$ est bien solution de la seconde équation :
$27\times8+20\times5=216+100=316\checkmark$.

Par conséquent la solution du système est $(8~;~5)$.

👉 Conseil : choisis les multiplicateurs pour éliminer une inconnue facilement.

2. On appelle $A$ le nombre d'adultes et $E$ le nombre d'enfants.
   Avec la première catégorie on obtient l'équation $45A+30E=510$.
   Avec la seconde catégorie on obtient l'équation $27A+20E=316$.

On est donc ramené à résoudre le système
$\left\lbrace\begin{matrix} 45A+30E=510\\ 27A+20E=316 \end{matrix}\right.$.

D'après la question précédente le couple $(8~;~5)$ est solution de ce système.
Il y avait donc 8 adultes et 5 enfants dans ce groupe.

👉 Conseil : pense à définir clairement les inconnues avant de traduire un problème en équations.

Exercice 2

1. Première étape : on identifie ce que nos inconnues vont représenter.
   On cherche le nombre de vélos et le nombre de tricycle engagés.
   On va donc appeler $V$ le nombre de vélos et $T$ le nombre de tricycles.

👉 Conseil : commence toujours par définir clairement les inconnues avant d’écrire des équations.

Deuxième étape : on met en équation le problème donné.
On a 64 enfants. Cela signifie donc que $V+T=64$.
On a compté 151 roues. Chaque vélo possède 2 roues et chaque tricycles possède 3 roues. On a donc l'équation $2V+3T=151$.

👉 Conseil : pense à traduire chaque information du texte par une équation.

Troisième étape : On résout le système $\left\lbrace\begin{matrix} V+T=64\\2V+3T=151\end{matrix}\right.$.
A l'aide de la méthode par substitution.

$\left\lbrace\begin{matrix} V=64-T\\2V+3T=151\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} V=64-T\\2(64-T)+3T=151\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} V=64-T\\128-2T+3T=151\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} V=64-T\\T=23\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} T=23\\V=64-23\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} T=23\\V=41\end{matrix}\right.$

On vérifie que le couple $(41~;~23)$ est bien solution du système.
$\left\lbrace\begin{matrix} 41+23=64\checkmark\\2\times41+3\times23=82+69=151\checkmark\end{matrix}\right.$

👉 Conseil : vérifie toujours ta solution en la remplaçant dans les deux équations.

A l'aide de la méthode par combinaisons linéaires

$\left\lbrace\begin{matrix} V+T=64~(\times2)\\2V+3T=151~(\times1)\end{matrix}\right.$

$\begin{array}{rcccl} &2V&+&2T&=128\\ -(&2V&+&3T&=151)\\ \hline &&&-T&=-23\\ &&\text{donc}&T&=23 \end{array}$

On reporte cette valeur dans la première équation :
$V+23=64$ donc $V=64-23$ et finalement $V=41$.
On contrôle que les valeurs trouvées vérifient la seconde équation : $2\times41+3\times23=82+69=151\checkmark$.

👉 Conseil : la méthode des combinaisons linéaires est souvent plus rapide quand les coefficients s’éliminent facilement.

Conclusion : 41 vélos et 23 tricycles étaient engagés dans cette course.

2. On utilise ces valeurs pour répondre à la question posée.
   $41\times500+23\times400=29~700$
   L'association recevra donc $29~700$ € grâce à cette course.

👉 Conseil : termine toujours par une phrase de conclusion en lien avec la question posée.