Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

I. Vecteurs directeurs d’une droite

Définition

Soit $d$ une droite du plan.
Un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $(d)$ est un vecteur non nul ayant la même direction que la droite $(d)$.

$\checkmark$ Cela signifie que si deux points $A$ et $B$ appartiennent à $(d)$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

$\checkmark$Tous les vecteurs colinéaires à $\overrightarrow{AB}$ (de la forme $k\overrightarrow{AB}$ avec $k \in \mathbb{R}^*$) sont également des vecteurs directeurs de $(d)$.

👉 On dit un et non le vecteur directeur d'une droite, car toute droite a une infinité de vecteurs directeurs.

II. Vecteurs directeurs d’une droite dans un repère

Soit une droite $(d)$ passant par les points $A(1\,;3)$ et $B(4\,;2)$.
On calcule le vecteur $\overrightarrow{AB}$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

Donc $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

👉 Dans les cas simples, on lit facilement les coordonnées d'un vecteur directeur sur un dessin.

III. Équation cartésienne d'une droite

👉 Mais c'est quoi une équation cartésienne ?

Une équation cartésienne d’une droite (ou d'un cercle, etc.), c’est une phrase mathématique avec un $x$ et un $y$, qui relie les coordonnées des points pour savoir si ces points appartiennent ou non à cette droite (à ce cercle, etc.)
Si on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point, et que le calcul donne $0$, alors le point appartient à la droite (au cercle, etc.). Sinon, il n’appartient pas.

Soit une droite $(d)$ passant par un point $M_0(x_0\,;y_0)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ avec $s$ et $t$ non tous les deux nuls en même temps.

👉 On cherche à caractériser tous les points de cette droite, dans le but d'obtenir une équation cartésienne du type $ax + by + c = 0$, qui serait vérifiée par tous les points de cette droite.

Démonstration : (au programme)

Soit $M(x\,;y)$ un point quelconque de $(d)$(on le nomme souvent point courant de la droite).
On sait que le vecteur $\overrightarrow{M_0M}$ doit être colinéaire au vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$.

Donc, les vecteurs $\overrightarrow{M_0M} = \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ sont colinéaires, ce qui équivaut à dire :

$\text{det }\left(\overrightarrow{M_0M} \,,\,\overrightarrow{u} \right)=0$ soit :

$\begin{vmatrix}x-x_0 &s \\ y-y_0 & t\end{vmatrix}=0$

$(x - x_0) \cdot t - (y - y_0) \cdot s = 0$

On développe :

$tx - t x_0 - sy + s y_0 = 0$

Puis on regroupe :

$tx - sy + (s y_0 - t x_0) = 0$

On pose $c = s y_0 - t x_0$ ; on peut alors l'écrire :

$tx - sy + c = 0$ qui est une expression de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$ et $b$ tous tous les deux nuls en même temps.

Remarque : le vecteur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $tx - sy + c = 0$

Théorème :

Toute droite $(d)$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls en même temps. cette relation s'appelle équation cartésienne de la droite $(d)$. Cette droite admet pour vecteur directeur $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$

IV. Exemple

Soit la droite passant par le point $M_0(2\,;3)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

👉 Fais un dessin pour t'aider à raisonner !

Alors on applique la méthode précédente :

$M(x\,;y)\in (d)\iff \text{det }\left(\overrightarrow{M_0M} \,,\,\overrightarrow{u} \right)=0$

${\phantom{M(x\,;y)\in (d)}}\iff \begin{vmatrix}x-2 &-1 \\ y-3 & 2\end{vmatrix}=0$

${\phantom{M(x\,;y)\in (d)}}\iff 2(x-2)-(-1)(y-3)=0$

${\phantom{M(x\,;y)\in (d)}}\iff 2x-4+y-3=0$

${\phantom{M(x\,;y)\in (d)}}\iff 2x+y-7=0$

Conclusion :

Une équation cartésienne de $(d)$ est : $2x + y - 7 = 0$

Résumé à retenir :

• Un vecteur directeur a la même direction que la droite.

• À partir d’un vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et d’un point $M_0(x_0\,;y_0)$, on obtient une équation cartésienne : $bx - ay + c = 0$ avec $c = a y_0 - b x_0$