Milieu d'un segment, distance entre deux points

Exercice 1

👉 Conseil : commence toujours par placer soigneusement les points, cela aide beaucoup pour la suite.

Longueur $AB$ :
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
$AB^2=(7-4)^2+(5-4)^2$
$AB^2=9+1$
$AB^2=10$

Longueur $AC$ :
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
$AC^2=(8-4)^2+(2-4)^2$
$AC^2=16+4$
$AC^2=20$

Longueur $BC$ :
$BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
$BC^2=(8-7)^2+(2-5)^2$
$BC^2=1+9$
$BC^2=10$

Donc : $AB=\sqrt{10}$cm, $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$cm et $BC=\sqrt{10}$cm.
👉 Conseil : calcule toujours les carrés des longueurs avant de prendre la racine.

On a : $AC^2=20$ et $AB^2+BC^2=10+10=20$.
Comme $AC^2=AB^2+BC^2$, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
De plus, comme $AB=BC$, alors $ABC$ est isocèle en $B$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $B$.
👉 Conseil : pense à utiliser la réciproque de Pythagore pour prouver qu’un triangle est rectangle.

cf figure plus haut
👉 Conseil : le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ donne la direction, le sens et la longueur à reporter.

Comme $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
De plus, comme ABC est un triangle rectangle $B$, alors $ABCD$ est un rectangle.
Comme $ABC$ est isocèle en $B,$ alors $ABCD$ est un carré.
👉 Conseil : avance étape par étape pour déterminer la nature du quadrilatère.

On a : $\overrightarrow{\text{AB}}(3~;~1)$ et $\overrightarrow{\text{DC}}(8-x_D~;~2-y_D)$.
Comme $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$, alors :
$8-x_D=3$ et $2-y_D=1$
$-x_D=3-8$ et $-y_D=1-2$
$x_D=5$ et $y_D=1$
$D$ a pour coordonnées $(5~;~1)$.
👉 Conseil : n’oublie pas que l’égalité de deux vecteurs donne deux équations.

Exercice 2

👉 Conseil : place le point O au centre comme demandé pour avoir une figure équilibrée.

Distance $AB$ :
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
$AB^2=(2-6)^2+(-3-5)^2$
$AB^2=16+64$
$AB^2=80$

Distance $AC$ :
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
$AC^2=(-4-6)^2+(0-5)^2$
$AC^2=100+25$
$AC^2=125$

Distance $BC$ :
$BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
$BC^2=(-4-2)^2+(0-(-3))^2$
$BC^2=36+9$
$BC^2=45$

Donc : $AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$cm, $AC=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$cm et $BC=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$cm.
👉 Conseil : mets les résultats sous la forme demandée avant de conclure.

$AB^2+BC^2=80+45=125$
Comme $AB^2+BC^2=AC^2$, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
👉 Conseil : identifie bien l’hypoténuse avant d’appliquer Pythagore.

Aire du triangle ABC :
$A_{ABC}=\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{4\sqrt{5}\times3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{12\times5}{2}=30$
L'aire du triangle ABC est donc de $30$cm$^2$.
👉 Conseil : dans un triangle rectangle, les deux côtés perpendiculaires servent de base et de hauteur.

Périmètre du triangle ABC :
$P=AB+BC+AC=4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
Le périmètre du triangle ABC est de $12\sqrt{5}$cm, soit environ $26{,}8$cm.
👉 Conseil : additionne d’abord les coefficients devant $\sqrt{5}$.

a) Comme le triangle ABC est rectangle en B, alors ce triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse $[AC]$.
Le centre E du cercle circonscrit au triangle ABC est donc le milieu du segment $[AC]$.
Calculons ses coordonnées :
$x_E=\dfrac{x_A+x_C}{2}$
$x_E=\dfrac{6+(-4)}{2}$
$x_E=\dfrac{2}{2}$
$x_E=1$

$y_E=\dfrac{y_A+y_C}{2}$
$y_E=\dfrac{5+0}{2}$
$y_E=\dfrac{5}{2}$

Les coordonnées du point E sont : $\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
👉 Conseil : dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est toujours le milieu de l’hypoténuse.

b) Ce cercle a pour rayon EA. Calculons donc la distance EA :
$EA^2=(x_A-x_E)^2+(y_A-y_E)^2=(6-1)^2+\left(5-\dfrac{5}{2}\right)^2=25+\dfrac{25}{4}=\dfrac{125}{4}$
Donc : $EA=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$.
Le rayon du cercle est $EA=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$cm.
👉 Conseil : pense à simplifier la racine avant de conclure.

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
$\tan\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{4}{3}$
Donc : $\widehat{\text{ACB}}\approx53^\circ$
👉 Conseil : la tangente est le rapport côté opposé sur côté adjacent.

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{CA}}$ :
$\overrightarrow{\text{CA}}(x_A-x_C~;~y_A-y_C)$
$\overrightarrow{\text{CA}}(6-(-4)~;~5-0)$
$\overrightarrow{\text{CA}}(10~;~5)$

Si $ACBD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{BD}}$.
Or $\overrightarrow{\text{CA}}(10~;~5)$ et $\overrightarrow{\text{BD}}(x_D-2~;~y_D+3)$, donc :
$x_D-2=10$ et $y_D+3=5$
$x_D=12$ et $y_D=2$
$D$ a donc pour coordonnées $(12~;~2)$.
👉 Conseil : dans un parallélogramme, deux vecteurs opposés sont égaux.

Exercice 3

👉 Conseil : fais la figure avant tout calcul, même si ce n’est pas noté.

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$
$\overrightarrow{\text{AB}}(x_B-x_A~;~y_B-y_A)$
$\overrightarrow{\text{AB}}(5-2~;~6-3)$
$\overrightarrow{\text{AB}}(3~;~3)$

Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{DC}}$
$\overrightarrow{\text{DC}}(x_C-x_D~;~y_C-y_D)$
$\overrightarrow{\text{DC}}(7-4~;~4-1)$
$\overrightarrow{\text{DC}}(3~;~3)$

Comme $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$, alors ABCD est un parallélogramme.
👉 Conseil : égalité de vecteurs = parallélogramme.

Longueur $AC$
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
$AC^2=(7-2)^2+(4-3)^2$
$AC^2=5^2+1^2$
$AC^2=25+1$
$AC^2=26$

Longueur $BD$
$BD^2=(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2$
$BD^2=(4-5)^2+(1-6)^2$
$BD^2=(-1)^2+(-5)^2$
$BD^2=1+25$
$BD^2=26$

D'où : $AC=BD=\sqrt{26}$cm.
👉 Conseil : dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.

Comme $ABCD$ est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur, alors $ABCD$est un rectangle.