L’équation réduite d’une droite : comprendre et calculer la pente

I. Équation réduite d'une droite

Une équation réduite est une forme particulière d'équation cartésienne d'une droite.

Elle s’écrit toujours sous la forme : $y = mx + p$

où :

• $m$ est appelé le coefficient directeur (ou pente de la droite),

• $p$ est l’ordonnée à l’origine (la valeur de $y$ quand $x = 0$).

Remarque :
Toutes les droites qui ne sont pas verticales ont une équation de ce type.

II. Lien avec les fonctions affines

L’équation réduite $y = mx + p$ est aussi l’expression d’une fonction affine $f$ telle que $f(x) = mx + p$.

Donc, tracer une droite d’équation réduite, c’est représenter la courbe d’une fonction affine.

Rappel important :

• $m$ indique comment $y$ change quand $x$ augmente (la pente).

• $p$ est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (quand $x = 0$).

III. Coefficient directeur (ou pente)

Le coefficient directeur $m$ d’une droite non verticale est un nombre qui indique :

• si la droite monte ($m > 0$),

• si elle descend ($m < 0$),

• si elle est horizontale ($m = 0$).

Géométriquement, si $A(x_1\,;y_1)$ et $B(x_2\,;y_2)$ sont deux points de la droite avec $x_1 \neq x_2$, alors : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

C’est la variation de $y$ divisée par la variation de $x$, autrement dit :

$m = \dfrac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des abscisses}}$

IV. Exemples corrigés

Exemple 1 : calculer une pente.

Soit la droite passant par les points $A(1\,;2)$ et $B(4\,;8)$.
On calcule sa pente :

$m = \dfrac{8 - 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$

La pente est $2$ : la droite monte de 2 unités quand $x$ augmente d’1 unité.

Exemple 2 : donner le coefficient directeur et un point

Soit une droite d’équation $y = -0{,}5x + 3$

• Le coefficient directeur est $m = -0{,}5$ → la droite descend.

• L’ordonnée à l’origine est $p = 3$ → elle passe par le point $(0,;3)$.

Exemple 3 : déterminer l'équation réduite connaissant deux points

Retrouver l'équation réduite d'une droite passant par les points $A(2_,;5)$ et $B(4\,;9)$

1. On calcule $m$ :

$m = \dfrac{9 - 5}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$

2. On utilise la formule $y = mx + p$ et on remplace $m = 2$

   $y=2x+p$

3. Je remplace par les coordonnées d'un point connu, par exemple $A(2\,;5)$ :

$5 = 2 \times 2 + p \Rightarrow 5 = 4 + p \Rightarrow p = 1$

Donc l'équation réduite est : $y = 2x + 1$

V. À retenir

• Une équation réduite est une équation de droite de la forme $y = mx + p$.

• Elle correspond à une fonction affine.

• Le coefficient directeur $m$ indique si la droite monte, descend, ou est horizontale.

• Le terme constant $p$ indique où la droite coupe l’axe des ordonnées.