Diviseurs et multiples

Exercice 1 — Division euclidienne

On cherche à écrire chaque nombre sous la forme
$m = d \times q + r$ avec $0 \le r < d$.

1. Division de $73$ par $6$
   $73 = 6 \times 12 + 1$
   Le quotient est $12$ et le reste est $1$.

2. Division de $125$ par $8$
   $125 = 8 \times 15 + 5$
   Le quotient est $15$ et le reste est $5$.

3. Division de $204$ par $7$
   $204 = 7 \times 29 + 1$
   Le quotient est $29$ et le reste est $1$.

Exercice 2 — Tester une divisibilité

Un nombre $d$ est un diviseur de $m$ si le reste de la division euclidienne est nul.

1. Division de $145$ par $5$
   $145 = 5 \times 29 + 0$
   Le reste est nul, donc $5$ est un diviseur de $145$.

2. Division de $218$ par $4$
   $218 = 4 \times 54 + 2$
   Le reste n’est pas nul, donc $4$ n’est pas un diviseur de $218$.

3. Division de $342$ par $9$
   $342 = 9 \times 38 + 0$
   Le reste est nul, donc $9$ est un diviseur de $342$.

Exercice 3 — Lister des diviseurs

1. Diviseurs de $36$
   On cherche tous les nombres entiers qui divisent $36$ sans reste.
   Les diviseurs de $36$ sont :
   $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$.

2. Diviseurs de $54$
   Les diviseurs de $54$ sont :
   $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$, $27$, $54$.

Exercice 4 — Diviseurs communs

Les diviseurs communs sont les nombres qui apparaissent dans les deux listes.

Diviseurs communs à $36$ et $54$ :
$1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$.

Exercice 5 — Simplifier une fraction

On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun.

1. $\dfrac{18}{24}$
   Les diviseurs communs de $18$ et $24$ sont $1$, $2$, $3$, $6$.
   On choisit $6$ :
   $\dfrac{18}{24} = \dfrac{6 \times 3}{6 \times 4} = \dfrac 34$.

2. $\dfrac{42}{56}$
   Les diviseurs communs de $42$ et $56$ sont $1$, $2$, $7$, $14$.
   On choisit $14$ :
   $\dfrac{42}{56} = \dfrac{14 \times 3}{14 \times 4} = \dfrac 34$.

3. $\dfrac{45}{60}$
   Les diviseurs communs de $45$ et $60$ sont $1$, $3$, $5$, $15$.
   On choisit $15$ :
   $\dfrac{45}{60} = \dfrac{15 \times 3}{15 \times 4} = \dfrac 34$.