Diviseurs et multiples

I. Division euclidienne

La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c'est la division vue à l'école primaire).
Voici la division euclidienne de $85$ par $3$ :

85 = 3 × 28 + 1
Dans $85$, il y a $28$ fois le nombre $3$ et il reste $1$.

Remarquons que le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.

II. Diviseurs et multiples d'un nombre

Définition

Soient $m$ et $d$ deux nombres.
On dit qu'un nombre $d$ est un diviseur d'un nombre $m$ s'il divise ce nombre, c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de $m$ par $d$ est nul.

Vocabulaire :

On dit que : $d$ divise $m$
ou encore que : $m$ est divisible par $d$
ou encore que : $m$ est un multiple de $d$

Exemple : $98 = 7 \times 14$
$7$ est un diviseur de $98$.

Remarque : On dira que $98$ est un multiple de $7$.
$1$ est un diviseur de tous les nombres.

III. Diviseur commun

Définition :
Soient deux nombres $a$ et $b$.
Un diviseur commun à $a$ et à $b$ est un nombre qui divise $a$ et qui divise $b$.

Exemple :
Les diviseurs de $60$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$.
Les diviseurs de $48$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $16$, $24$, $48$.
Les nombres $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ divisent les nombres $60$ et $48$. Ce sont des diviseurs communs à $60$ et $48$.

IV. Simplification de fractions

Connaître les diviseurs communs permet de simplifier des fractions.

Exemple :

$\dfrac{48}{60}=\dfrac{12\times 4}{12\times 5}=\dfrac 45$