Loi de Bernoulli

I. Définition

Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur $1$ si $S$ est réalisé, et $0$ sinon.

$X$ est appelée variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$.

La loi de $X$ est appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$.

II. Représentation d'une loi de Bernoulli

III. Notation

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(p)$.

Propriété :

$\circ\quad$ L’espérance de $X$ est donnée par : $E[X] = p$.

$\circ\quad$La variance de $X$ est donnée par : $V[X] = p(1 - p)$.

Démonstration :

$\circ\quad$ Espérance : dans le cas de la loi de Bernoulli, $X$ prend les valeurs $0$ et $1$ avec les probabilités correspondantes : $E[X] = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$. Donc, $E[X] = p$.

$\circ\quad$La variance de $X$ est définie par : $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$.

Calculons $E[X^2]$ :
$E[X^2] = 1^2 \times p + 0^2 \times (1 - p) = p$.

Ainsi,
$V[X] = p - p^2 = p(1 - p)$.

Donc, $V[X] = p(1 - p)$.