Dérivées de fonctions usuelles

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Apprends à démontrer rigoureusement la dérivée de la fonction racine carrée. Tu verras comment utiliser l’astuce du conjugué pour simplifier le taux d’accroissement et déterminer le domaine de définition de la dérivée. Mots-clés : dérivée racine carrée, fonction racine, démonstration dérivée, taux de variation, conjugué, dérivabilité.

I. Un tableau récapitulatifpicture-in-text

II. Un exemple de démonstration

Démonstration de la dérivée de x\sqrt{x}

Soit f(x)=xf(x) = \sqrt{x} et Df=[0;+∞[D_f = [0 ; +\infty[.

τ(h)=f(a+h)−f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

f(a+h)=a+hf(a+h) = \sqrt{a+h}

f(a)=af(a) = \sqrt{a}

τ(h)=a+h−ah\tau(h) = \dfrac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}

Multiplication par l'expression conjuguée :

τ(h)=(a+h−a)(a+h+a)h(a+h+a)\tau(h) = \dfrac{(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}

τ(h)=(a+h)−ah(a+h+a)\tau(h) = \dfrac{(a+h) - a}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}

τ(h)=hh(a+h+a)\tau(h) = \dfrac{h}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}

τ(h)=1a+h+a\tau(h) = \dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}

lim⁡h→0τ(h)=lim⁡h→01a+h+a\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}

=1a+a= \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}}

=12a= \dfrac{1}{2\sqrt{a}}

Attention, ff n’est pas dérivable en 00. Donc Df=[0;+∞[D_f = [0 ; +\infty[ mais Df′=]0;+∞[D_{f'} = ]0 ; +\infty[, intervalle ouvert en 00.

Ainsi, on a : f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

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