Définition du logarithme décimal et premières propriétés

Exercice 1

Sans calculatrice, encadrer $\log(250)$ entre deux entiers consécutifs.

Étape 1. Repères en base 10 : $10^2=100$ et $10^3=1000$.
Étape 2. On constate $100<250<1000$.
Conclusion. Par croissance de $\log$, on a $2<\log(250)<3$.

Affinage (optionnel). $250=2{,}5\times 10^2$, donc $\log(250)=2+\log(2{,}5)$. Comme $2<2{,}5<3$, on obtient $\log(2)<\log(2{,}5)<\log(3)$, soit $0{,}3010\lesssim\log(2{,}5)\lesssim 0{,}4771$. Donc $2{,}3010\lesssim\log(250)\lesssim 2{,}4771$ (et en pratique $\log(250)\approx 2{,}398$).

Exercice 2

Estimer $\log(8000)$, le donner entre deux entiers et préciser le plus proche.

Étape 1. Factorisation utile : $8000=8\times 1000=8\times 10^3$.
Étape 2. $\log(8000)=\log(8)+\log(10^3)=3+\log(8)$.
Étape 3. $8=2^3$ donc $\log(8)=\log(2^3)=3\log(2)\approx 3\times 0{,}3010=0{,}903$.
Conclusion. $\log(8000)\approx 3{,}903$. Il est entre $3$ et $4$, et bien plus proche de $4$ que de $3$.

Exercice 3

Comparer $\log(40)$ et $\log(70)$.

Étape 1. La fonction $\log$ est croissante sur $]0,+\infty[$.
Étape 2. Comme $70>40$, on a directement $\log(70)>\log(40)$.
Justification alternative. $40=4\times 10$ et $70=7\times 10$ donc $\log(40)=1+\log(4)$ et $\log(70)=1+\log(7)$. Or $7>4\Rightarrow \log(7)>\log(4)$, d’où $\log(70)>\log(40)$.

Exercice 4

Proposer une approximation de $\log(500)$ sans calculatrice.

Étape 1. Écrire $500$ sous la forme $5\times 10^2$.
Étape 2. $\log(500)=\log(5)+\log(10^2)=2+\log(5)$.
Étape 3. Utiliser $\log(5)=\log!\left(\dfrac{10}{2}\right)=\log(10)-\log(2)=1-0{,}3010=0{,}6990$.
Conclusion. $\log(500)\approx 2+0{,}6990=2{,}6990\approx 2{,}70$.
Encadrement simple. Comme $100<500<1000$, on a aussi $2<\log(500)<3$.

Exercice 5

Expliquer pourquoi $\log(0{,}05)$ est entre $-2$ et $-1$, puis donner une approximation.

Étape 1. Repères en base 10 : $10^{-2}=0{,}01$ et $10^{-1}=0{,}1$.
Étape 2. On constate $0{,}01<0{,}05<0{,}1$.
Conclusion 1. Par croissance de $\log$, $-2<\log(0{,}05)<-1$.
Étape 3. Écrire $0{,}05=5\times 10^{-2}$.
Étape 4. $\log(0{,}05)=\log(5)+\log(10^{-2})=\log(5)-2$.
Étape 5. Avec $\log(5)\approx 0{,}6990$, on obtient $\log(0{,}05)\approx 0{,}6990-2=-1{,}3010\approx -1{,}30$.