Variations de la fonction logarithme décimal

I. Variations de la fonction $\log$

La fonction $\log$ est une fonction strictement croissante pour $b > 0$.

Cela signifie que si $a < b$, alors $\log(a) < \log(b)$.

La fonction est donc croissante et continue.

• Justification : La croissance de la fonction logarithme découle du fait que la fonction $10^x$ est croissante et que $\log$ est sa fonction réciproque.

II. Exemples

1. Comparer $\log(2)$ et $\log(3)$ :
   Puisque $2 < 3$, alors $\log(2) < \log(3)$.

2. Déduire que si $a < b$, alors $\log(a) < \log(b)$ :
   Par exemple, $\log(5) < \log(10)$ car $5 < 10$.

III. Exercices d'application

1. Vérifier si l'affirmation suivante est vraie : $\log(4) < \log(5) < \log(6)$.
   Solution : Oui, car $4 < 5 < 6$, donc $\log(4) < \log(5) < \log(6)$.

2. Montrer que $\log(0.5) < \log(1)$.
   Solution : Comme $0.5 < 1$, on a $\log(0.5) < \log(1)$. En effet, $\log(0.5) \approx -0.3010$ et $\log(1) = 0$.

3. Comparer $\log(20)$ et $\log(25)$ en expliquant pourquoi l'un est plus grand que l'autre.
   Solution : $20 < 25$, donc $\log(20) < \log(25)$.

IV. Problème concret

Un investissement initial de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 5%. Le montant $M$ au bout de $t$ années est donné par la formule $M = 1000 \cdot (1.05)^t$. Après combien d'années le montant atteint-il 1500 € ? Résoudre l'équation en utilisant des logarithmes.

Solution :
L'équation à résoudre est :

$1500 = 1000 \cdot (1.05)^t$

Divisons par 1000 :

$1.5 = (1.05)^t$

Prenons le logarithme des deux côtés :

$\log(1.5) = t \cdot \log(1.05)$

En isolant $t$ :

$t = \dfrac{\log(1.5)}{\log(1.05)}$

Calculons :

$t = \dfrac{0.1761}{0.0212} \approx 8.31$

Ainsi, il faudra environ 8.31 années pour atteindre 1500 €.