Définition du logarithme décimal et premières propriétés

I. Définition

Le logarithme décimal de $b$ pour $b > 0$ est défini comme l'unique solution de l'équation $10^x = b$. Il est noté $\log(b)$ et est une fonction croissante.

• Définition : Le logarithme décimal de $b$, noté $\log(b)$, est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir $b$. En d'autres termes, $\log(b)$ est la solution de $10^x = b$.

• Notation : Le logarithme décimal s'écrit comme $\log$.

Attention ! sur la calculatrice il s'agit de la touche log et non de la touche $\ln$. Certaines calculatrices n'ont pas cette touche log, pour obtenir le $\log (x)$, il faudra taper $\dfrac{\ln (x)}{\ln 10}$ , avec la touche $\ln$ qui représente le logarithme népérien.

II. Exemples

• Trouver $x$ tel que $10^x = 100$.
  La solution est $x = \log(100) = 2$, car $10^2 = 100$.

• Calculer $\log(1)$, $\log(10)$, et $\log(1000)$ :

  • $\log(1) = 0$, car $10^0 = 1$.

  • $\log(10) = 1$, car $10^1 = 10$.

  • $\log(1000) = 3$, car $10^3 = 1000$.

Remarque : Le logarithme est défini uniquement pour des nombres strictement positifs $b > 0$.

III. Exercices d'application

1. Résoudre $10^x = 1000$.
   Solution : $x = \log(1000) = 3$.

2. Calculer $\log(500)$ sans utiliser de calculatrice, en estimant son ordre de grandeur.
   Solution : Sachant que $100 = 10^2$ et $1000 = 10^3$, on peut conclure que $\log(500)$ est approximativement entre 2 et 3. Plus précisément, $\log(500) \approx 2.69897$.

3. Vérifier que $\log(0.1) = -1$.
   Solution : Puisque $10^{-1} = 0.1$, on a $\log(0.1) = -1$.

IV. Problème concret :

Le pH d’une solution est défini comme $pH = -\log[\text{H}^+]$, où $[\text{H}^+]$ est la concentration en ions hydrogène dans la solution. Si la concentration en ions hydrogène est $[\text{H}^+] = 10^{-4}$ mol/L, quel est le pH de la solution ?

Solution :
On nous donne la concentration en ions hydrogène $[\text{H}^+] = 10^{-4}$ mol/L. Utilisons la formule du pH :

$pH = -\log[\text{H}^+] = -\log(10^{-4})$

Par la propriété du logarithme de la puissance, on peut réécrire ceci comme :

$pH = -(-4) = 4$

Ainsi, le pH de la solution est 4.