Propriétés algébriques de la fonction logarithme

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I. Les propriétés à connaître

Les propriétés algébriques du logarithme décimal permettent de simplifier de nombreuses expressions. Voici les principales :

1. Propriété du produit :
   $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ pour $a, b > 0$.

2. Propriété du quotient :
   $\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ pour $a, b > 0$.

3. Propriété de la puissance :
   $\log(a^n) = n \log(a)$ pour $a > 0$ et $n$ entier.

4. Propriété de l'inverse :
   $\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log(b)$ pour $b > 0$.

II. Exemples

1. Simplifier $\log(50) - \log(2)$ :
   $\log(50) - \log(2) = \log\left(\dfrac{50}{2}\right)$

   $\phantom{\log(50) - \log(2)}= \log(25)$

2. Développer $\log(2^3 \cdot 5)$ :
   $\log(2^3 \cdot 5) = \log(2^3) + \log(5)$

   $\phantom{\log(2^3 \cdot 5) }= 3 \log(2) + \log(5)$

III. Exercices d'application

1. Simplifier l'expression $\log(100) - \log(10)$.
   $\log(100) - \log(10) = \log\left(\dfrac{100}{10}\right)$

   $\phantom{\log(100) - \log(10) }= \log(10)$

   $\phantom{\log(100) - \log(10) }= 1$

2. Développer $\log(3^4 \cdot 7)$.

   $\log(3^4 \cdot 7) = \log(3^4) + \log(7)$

   $\phantom{\log(3^4 \cdot 7)}= 4 \log(3) + \log(7)$.

3. Utiliser les propriétés pour transformer l'expression $\log\left(\dfrac{7}{9}\right)$ en une somme.
   $\log\left(\dfrac{7}{9}\right) = \log(7) - \log(9)$.

IV. Problème concret

Un chercheur mesure l'intensité sonore d'un appareil électronique et trouve que l'intensité en décibels (dB) est donnée par la formule $I = 10 \log\left(\dfrac{P}{P_0}\right)$, où $P$ est la puissance en watts et $P_0 = 10^{-12}$ W est une référence. Si l'intensité sonore est de 90 dB, quelle est la puissance $P$ ?

Solution :
Nous avons l'équation :

$90 = 10 \log\left(\dfrac{P}{10^{-12}}\right)$

Divisons par 10 :

$9 = \log\left(\dfrac{P}{10^{-12}}\right)$

Cela est équivalent à :

$10^9 = \dfrac{P}{10^{-12}}$

Multipliant par $10^{-12}$ :

$P = 10^{-3}$

La puissance est donc $P = 10^{-3}$ watts, soit 1 milli-watt.