Construction de parallélogramme (2)

Étape 1 : Bien comprendre l’énoncé

👉 Fais d’abord une figure à main levée pour visualiser.

On doit construire un parallélogramme qui s’appelle $EGHK$.

Son centre est le point $J$.

Le centre d’un parallélogramme, c’est le point où les deux diagonales se coupent. Ce point est le milieu des deux diagonales.

👉 Note sur ta figure à main levée les dimensions qui te sont données.

On sait que $EH = GK = 6$ cm.

$EH$ et $GK$ sont les deux diagonales du parallélogramme.
En effet, dans un parallélogramme, les diagonales relient les sommets opposés : $E$ avec $H$, et $G$ avec $K$.

Donc les deux diagonales mesurent chacune $6$ cm.

On sait aussi que l’angle $\widehat{EJG} = 125^\circ$.
$J$ est le centre, donc $\widehat{EJG}$ est l’angle formé par les deux demi-diagonales $[EJ]$ et $[GJ]$.

Étape 2 : Ce que l’on connaît sur les diagonales

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Donc $J$ est le milieu de $[EH]$ et aussi le milieu de $[GK]$.

Cela signifie que :

$EJ = JH = \dfrac{EH}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.

$GJ = JK = \dfrac{GK}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.

Donc toutes les demi-diagonales mesurent $3$ cm.
Ainsi, $E$, $G$, $H$ et $K$ sont tous à $3$ cm du centre $J$.

👉 Conseil :

Les quatre sommets sont sur un même cercle de centre $J$ et de rayon $3$ cm. On appelle cela un cercle circonscrit au parallélogramme (c’est un rectangle ou un losange ? On verra à la fin).

Étape 3 : Construction étape par étape, en regardant ta figure à main levée pour te guider

1. Place le centre $J$ sur ta feuille

2. Tracer les demi-diagonales $[EJ)$ et $[GJ)$

   

Trace une demi-droite (une ligne qui part de $J$ vers la gauche par exemple). Place le point $E$ à $3$ cm de $J$ sur cette demi-droite (avec une règle).

Puis, trace une autre demi-droite qui part de $J$ et qui fait un angle de $125^\circ$ avec la première. Pour mesurer cet angle, utilise un rapporteur : place le centre du rapporteur sur $J$, aligne le $0$ sur la première demi-droite, puis compte $125^\circ$ et trace la deuxième demi-droite. Place le point $G$ à $3$ cm de $J$ sur cette deuxième demi-droite.

3. Reporter les symétriques pour obtenir $H$ et $K$

On sait que $J$ est le milieu de $[EH]$.
Pour placer $H$, on prolonge la droite $(EJ)$ au-delà de $J$ (dans la direction opposée à $E$).
Sur cette demi-droite, on place $H$ à $3$ cm de $J$ (donc $JH = 3$ cm).

De même, on prolonge la droite $(GJ)$ au-delà de $J$ (dans la direction opposée à $G$).
Sur cette demi-droite, on place $K$ à $3$ cm de $J$ (donc $JK = 3$ cm).

👉 Conseil :

On peut tracer les deux droites complètes $(EJ)$ et $(GJ)$ avant de placer $E$, $G$, $H$, $K$.
On place $E$ et $G$ d’un côté de $J$, puis $H$ et $K$ de l’autre côté, à la même distance.

Étape 4 : Tracer le parallélogramme

Relie les points dans l’ordre :
$E \to G \to H \to K \to E$.

Vérifie que $EGHK$ est bien un parallélogramme :
$(EG)$ est parallèle à $(KH)$ et $(GH)$ est parallèle à $(EK)$.

Conseil :

Si tu as bien placé $J$ milieu de $[EH]$ et de $[GK]$, alors le quadrilatère $EGHK$ est automatiquement un parallélogramme. Il te suffit de relier $E$ à $G$, $G$ à $H$, $H$ à $K$, $K$ à $E$.

Étape 5 : Mesurer et découvrir la propriété

Tu remarques que $EGHK$ a ses quatre sommets sur un même cercle de centre $J$ et de rayon $3$ cm.

De plus, tous les côtés sont-ils égaux ? Mesure-les.
Normalement, non : $EG = KH$ et $KE=HG$.

Propriété découverte :

Si les diagonales d’un parallélogramme sont égales, alors ce parallélogramme est un rectangle.

La bonne propriété :

Dans un parallélogramme, si les diagonales sont égales, alors c’est un rectangle.
Ici, les diagonales sont égales ($6$ cm), donc $EGHK$ est un rectangle.
Un rectangle avec tous les côtés égaux est un carré, mais ici les côtés ne sont pas égaux (vérifie par mesure).
Donc c’est simplement un rectangle dont les diagonales mesurent $6$ cm et se coupent à $125^\circ$.

Conclusion :

Tu as construit un rectangle $EGHK$ dont les diagonales mesurent $6$ cm et se coupent à $125^\circ$.
Dans ce rectangle, le centre $J$ est le milieu des deux diagonales.