Variables aléatoires

I) Lois de probabilité

Comme le nom de la variable l’indique, l’expérience est aléatoire et le résultat dépend seulement du hasard et permettra d’obtenir un événement élémentaire.

Une variable aléatoire est généralement notée avec une lettre majuscule (souvent X).

Il s’agit donc maintenant d’associer une variable aléatoire X à un événement.

Par exemple, en reprenant les dés, imaginons que nous misions 10 € sur le fait d’obtenir le chiffre 6 et que nous obtenons ce chiffre, ce qui nous fera gagner 100 € (donc un gain de 90 € si nous retirons la mise), la probabilité de gain est de 1/6 et la probabilité de perte est de 5/6. Si nous échouons, nous perdons nos 10 € de mise.

Nous pouvons donc représenter cela de la façon suivante : 

• A = événement ;
• X = variable aléatoire ;
• P = probabilité.

A = (-10) et 90 (En effet, à l’issu de cette mise, il n’y a que deux événements possible, soit nous perdons 10 €, soit nous en gagnons 90 €.).

Notions que le résultat $(-10) = A1$ ; tandis ce que le résultat $90 = A2$

Alors :

Les chances que $P (X = A)$ pour l’événement $A1 = 5/6$

Les chances que $P (X = A)$ pour l’événement $A2 = 1/6$

L’espérance mathématique permet de comprendre si un jeu est favorable ou non pour un joueur.

Une espérance négative indiquera au joueur qu’il a plus de chances de perdre que de gagner, ce qui est le cas dans notre exemple ci-dessus.

En effet : $E~(X) = -10 \times 5/6 + 90 \times 1/6 = - 1/6$

II) Variance

Dans notre exemple avec une espérance mathématique négative (On note le négatif avec un trait souscrit au-dessus de la valeur, ici nous noterons simple TS à côté de la valeur.)

La variance de la variable aléatoire X est : $V~(X) = E~((X – X(TS)^2)$

III) Écart type

L’écart type est simplement égal à la racine carrée de la variance.

$Écart~type~(X) = Racine~carrée~de~V~(X)$