Mathématiques financières

I) Intérêts composés

Principalement utilisés dans le milieu bancaire, les intérêts composés permettent de prendre un compte un intérêt à un taux annuel donné, venant s’ajouter au capital à chaque fin de période.

Nous distinguons :

• Valeur actuelle (C0) $\Rightarrow$ Capital de départ ;
• Le Taux (t) $\Rightarrow$ Taux d’intérêt ;
• Le nombre (n) $\Rightarrow$ Nombre de périodes ;
• Valeur acquise (Cn) $\Rightarrow$ Ce que devient le capital de départ ;
• Intérêts (I) $\Rightarrow$ Montant des intérêts.

Donc, si nous plaçons à la banque un capital, celui-ci va augmenter de la façon suivante :

$Cn = C0 \times (1 + t)^2$

Attention, ici le n est un carré.

Donc dans notre exemple si C0 correspond à 100, t correspond à 0.05 et que n correspond à 2, alors :

$C^2 = 100 \times (1 + 0.05)^2 = 110,25$

En effet, si l’on décompose, la première année nous arrivons à une valeur acquise de $100 \times 1,05 = 105$, puis, la deuxième année nous atteignons une valeur acquise de $105 \times 1,05 = 110,25$.

La valeur actuelle d’un capital placé se calculera se la façon suivante : $C0 = C^n \times (1 + t)^{{\tiny-}n}$

Attention, ici le $n$ est un carré.

II) Les annuités

L’annuité est la somme acquise (ou dépensée, en fonction de s’il s’agit d’un placement en épargne ou d’un emprunt bancaire) à chaque période.

Une annuité peut être évolutive ou constante, selon si elle est modifiée au fil de chaque période. Si un trimestre est une annuité et que chaque trimestre je gagne 100 €, alors il s’agit d’une annuité constante. Si je gagnais 10 % de plus à chaque trimestre, il s’agirait d’une annuité évolutive. 

Dans le cas où il s’agit d’un placement, nous souhaitons évaluer la valeur acquise : $Cn = a~(annuité) \times (1+t)^n – 1 / t$

Si l’annuité est constante, nous pouvons donc déduire l’annuité de la façon suivante : $A = Cn  \times t / (1+t)^n – 1$

Dans le cas d’un emprunt, nous souhaitons évaluer la valeur actuelle du capital emprunté : $C0 = a \times 1-(1+t)^{{\tiny-}n}$

Si l’annuité est constante, nous pouvons donc déduire l’annuité de la façon suivante : $A = C0 \times t / 1-(1+t)^n$

Il est alors utile de calculer l’amortissement.