Sphère et boule

I. Sphère

Définition : On appelle sphère de centre $O$ et de rayon $R$ l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM=R$.

II. Boule

Définition : On appelle boule de centre $O$ et de rayon $R$ l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM \leqslant R$.

Remarque : Une sphère est donc l'enveloppe extérieure d'une boule. Il s'agit, dans l'espace, de la même différence qui existe entre un cercle et un disque, dans le plan.

III. Propriétés

$\checkmark$ Le volume d'une boule de rayon $R$ est $\mathscr{V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
$\checkmark$L'aire d'une sphère de rayon $R$ est $\mathscr{A}=4\pi R^2$.

Exemple : Si $R = 2$ cm alors :
$\checkmark$le volume de la boule est $\mathscr{V}=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3}$ cm$^3$
$\checkmark$l'aire de la sphère est $\mathscr{A}=4\times \pi \times 2^2 = 16\pi$ cm$^2$

IV. Section d'une sphère par un plan

Définition : On appelle section d'un solide par un plan, l'intersection de ce solide et du plan.

Propriété :

La section d'une sphère par un plan est un cercle.

Remarque : Il existe deux cas extrêmes :
• le cercle est réduit à un point. On dit alors que le plan est tangent à la sphère.
• le plan passe par le centre de la sphère. La section est alors un grand cercle de la sphère. Il partage la sphère en deux demi-sphères.
Dans le cas du globe terrestre, cela correspond par exemple à l'équateur.

V. Comment utiliser Pythagore dans une sphère ?

Si on appelle $O'$ le centre du cercle de section et $O$ le centre de la sphère, alors la droite $(OO')$ est perpendiculaire au plan de section.

Le point $M$ étant un point de la sphère, la distance $OM$ est égale au rayon du cercle. On peut ainsi appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle $OO'M$ si on connaît une deuxième longueur pour calculer la longueur manquante.

En géographie, on repère les points sur le globe terrestre à l'aide de parallèles et de méridiens.