Simplifier des écritures littérales

Une expression littérale est un calcul mathématique avec des nombres et des lettres.
Les lettres représentent des nombres que l'on ne connaît pas a priori.

I. Des exemples que tu connais

Les formules de calcul sont données par des expressions littérales.

$\checkmark$ Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $2 \pi r$
La lettre $r$ représente le rayon du cercle.
Le périmètre s'exprime en fonction du rayon.

$\checkmark$ L'aire d'un rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$ est $L \times \ell$
La lettre $L$ représente la longueur et la lettre $\ell$ la largeur du rectangle.
L'aire s'exprime en fonction de la longueur et la largeur.

II. Simplifications d'écriture

$\checkmark$ Le signe $\times$ de la multiplication n'est pas obligatoire s'il n'est pas devant un nombre.

Exemples
- Le périmètre du cercle de rayon $r$ s'écrit plus simplement $2 \pi r$, on n'est pas obligé de l'écrire $2\times \pi \times r$.
L'expression $3 \times (x+5)$ peut s'écrire $3(x+5)$.

$\checkmark$ Je peux simplifier en utilisant des puissances

$a \times a = a^2$ et $a \times a \times a = a^3$
$a^2$ se lit $a$ au carré, et $a^3$ se lit $a$ au cube.
Le facteur $a$ est utilisé deux fois, et on parle "du carré de $a$" ; le facteur $a$ est utilisé 3 fois et on parle "du cube de $a$".

$\checkmark$ Le facteur $1$.

Si dans une multiplication, un facteur est $1$, il peut être supprimé : $1 \times a = a$.

III. J'utilise la distributivité de la multiplication

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Pour n'importe quels nombres $k$, $a$ et $b$, on a :
$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b)=ka+kb$
$k \times (a-b) = k \times a - k \times b$ ou $k(a-b)=ka-kb$
Passer de $k \times (a+b)$ à $ka+kb$ se dit développer l'expression.
Passer de $ka+kb$ à $k \times (a+b)$ se dit factoriser l'expression.

Exemple :
$7 \times (x-4) = 7 \times x + 7 \times (-4) = 7 \times x - 28 = 7x - 28$
$10x^2 + 40x = (10x)x + (10x) \times 4 = 10x(x+4)$
$6x - 6 = 6 \times x - 6 \times 1 = 6(x - 1)$

IV. Je réduis une expression littérale

Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :
$15x + 3x - 8x = 15 \times x + 3 \times x - 8 \times x = (15 + 3 - 8) \times x = 10 \times x = 10x$

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemples :
$A = 3x^3 - 2x^2 + x - 7 - 5x^3 + 5x^2 + 4x + 11$
On regroupe les cubes, les carrés, les $x$ simples et les nombres :
$A = 3x^3 - 5x^3 - 2x^2 + 5x^2 + x + 4x - 7 + 11$
On applique la distributivité :
$A = (3 - 5)x^3 + (-2 + 5)x^2 + (1 + 4)x + (-7 + 11)$
$A = -2x^3 + 3x^2 + 5x + 4$

V. Je supprime une parenthèse précédée du signe $+$

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.
$a + (b + c) = a + b + c$

Exemples :
$2x + (3 + 5x) = 2x + 3 + 5x = (2 + 5)x + 3 = 7x + 3$
$7x + (-3 - 5x) = 7x + (-3) - 5x = (7 - 5)x - 3 = 2x - 3$

VI. Je supprime une parenthèse précédée du signe $-$

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.
$a - (b + c) = a - b - c$
$a - (b - c) = a - b + c$

Exemples :
$2x - (2x + 3y) = 2x - 2x - 3y = -3y$
$-3x - (7 - 5x) = -3x - 7 + 5x = (-3 + 5)x - 7 = 2x - 7$