Se repérer dans un plan, dans l’espace

Rappels de cours

1 Se repérer dans un plan muni d’un repère orthogonal

 Un repère orthogonal est constitué d’une origine et de deux axes perpendiculaires. Quand les unités sur chacun des axes sont les mêmes, on dit que le repère est orthonormé.

 Un point est repéré par deux coordonnées : son abscisse et son ordonnée.

exemple

• Les coordonnées de A sont $x_{\text{A}}=+\frac{2}{3}$ et $y_{\text{A}}=+1$. On note $\text{A}\left(+\frac{2}{3}+1\right)$.

• Les coordonnées de B sont $x_{\text{B}}=-1$ et $y_{\text{B}}=-\frac{3}{2}$. On note $\text{B}\left(-1-\frac{3}{2}\right)$.

2 Se repérer dans un parallélépipède rectangle

 Se repérer dans l’espace revient à se repérer dans un parallélépipède rectangle. Dans ce solide, trois arêtes concourantes forment un repère.

 Un point A est repéré par trois coordonnées : son abscisse $x_{\text{A}}$, son ordonnée $y_{\text{A}}$ et son altitude $z_{\text{A}}$.

exemple

L’abscisse du point A est $x_{\text{A}}=+2$, son ordonnée est $y_{\text{A}}=+3$ et son altitude est $z_{\text{A}}=+5.$ On note $\text{A}\left(235\right)$.

Repère
Attention !
Les abscisses, les ordonnées et les altitudes sont des nombres relatifs.

Méthodes

Repérer une boule de billard sur une table

La surface de jeu d’un billard est représentée par un rectangle OABC. Sa longueur OA et sa largeur OC mesurent respectivement 2,10 m et 1,05 m. Considérons un repère orthonormé d’origine O et tel qu’une unité représente 30 cm.

a. Placer les points O, A, B et C sachant que leurs coordonnées sont positives ou nulles, que O et A sont sur l’axe des abscisses et O et C sur l’axe des ordonnées. Lire les coordonnées des 4 points.

b. Placer la boule P sachant qu’elle est située à 15 cm de [OC] et à 60 cm de [OA]. Donner les coordonnées de P.

Repère
Solution

a. $\text{O}\left(00\right)$  $\text{A}\left(70\right)$  $\text{B}\left(7\mathrm{3,5}\right)$  $\text{C}\left(0\mathrm{3,5}\right)$.

b. $\text{P}\left(\mathrm{0,5}2\right)$.

Repérer une balle de golf

Une balle de golf G est lancée à partir de l’origine O d’un repère dans un parallélépipède rectangle (une unité représente 2,5 m sur chaque axe). La balle passe au-dessus d’un drapeau dont le pied D a pour coordonnées $\left(3\mathrm{4,5}0\right)$. Alors la balle G est à 15 m au-dessus du sol. On note $z_{\text{G}}$ son altitude.

a. Tracer le repère et placer le point D.

b. Placer la balle G et donner la valeur de $z_{\text{G}}$. Écrire les coordonnées de G.

Repère
Solution

a. D est situé dans le plan qui contient l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées (c’est-à-dire le plan du sol).

b. On a $z_{\text{G}}=\frac{15}{\mathrm{2,5}}=6$.

On peut donc écrire $\text{G}\left(3\mathrm{4,5}6\right)$.