Déterminer la nature des sections de solides par un plan

Rappels de cours

1 Section d’un cube

 La section d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré dont le côté possède la même mesure que l’arête du cube .

 La section d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

2 Section d’un parallélépipède rectangle

 La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une face est un rectangle dont les dimensions sont égales à celles de cette face.

 La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une arête est un rectangle .

3 Section d’un cylindre de révolution

 La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle .

 La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (ou un disque) de même rayon que celui de la base du cylindre de révolution.

4 Sections d’une pyramide et d’un cône de révolution

 La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que la base de la pyramide. C’est une réduction du polygone de base .

 La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle (ou un disque) qui est une réduction de la base.

Méthode

Étudier la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base

$\text{ABCD}$ est un carré de centre $\text{O}$ et de côté $\text{5 cm}$. La droite $\left(\text{OK}\right)$ est orthogonale au plan formé par le carré $\text{ABCD}$. $\text{KABCD}$ est une pyramide notée 𝒫 telle que $\text{OK}=2\text{AB}$.

On coupe la pyramide 𝒫 par un plan parallèle à sa base carrée $\text{ABCD}$. Ce plan coupe les segments $\left[\text{KA}\right]$, $\left[\text{KB}\right]$, $\left[\text{KC}\right]$, $\left[\text{KD}\right]$ et $\left[\text{KO}\right]$ respectivement en $\text{A′}$, $\text{B′ ,}$$\text{C′}$, $\text{D′}$ et $\text{O′}$. On donne $\text{KO′}=3\text{ cm}$.

a. Calculer la mesure exacte du volume $V$ de 𝒫 .

b. Quelle est la nature du quadrilatère $\text{A′ B′ C′ D′}$ ? En donner la dimension caractéristique, après avoir déterminé le coefficient de réduction.

c. Calculer la mesure exacte du volume $V^{\prime }$ de la pyramide de sommet $\text{K}$ et de base $\text{A′ B′ C′ D′}$.

Repère
Solution

a. Nous avons $V=\frac{1}{3}\times \text{aire}\text{de}\text{la}\text{base}\times \text{hauteur}$.

La hauteur OK mesure 2AB, soit $2\times 5=10$.

D’où $V=\frac{1}{3}\times 5^2\times 10$, soit $V=\frac{250}{3}{\text{cm}}^3$.

b. $\text{A′ B′ C′ D′}$ est un quadrilatère de même nature que $\text{ABCD}$, c’est donc un carré.

Le coefficient de réduction est $k=\frac{\text{KO′}}{\text{KO}}=\frac{3}{10}$.

Alors $\frac{\text{A′ B′}}{\text{AB}}=k=\frac{3}{10}$, donc $\text{A′ B′}=\frac{3}{10}\times 5$, soit $\text{A′ B′}=\mathrm{1,5}\text{ cm.}$

c. $V^{\prime }=k^3\times V$ donc $V^{\prime }={\left(\frac{3}{10}\right)}^3\times \frac{250}{3}=\mathrm{2,25}{\text{ cm}}^3$.