Agrandir et réduire des figures : homothétie

Rappels de cours

1 Image d’un point par une homothétie

Le point B est l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport k (où k est un nombre strictement positif) si :

• les points O, A et B sont alignés 

• le point O n’est pas situé sur le segment [AB] 

•  $\text{OB}=k\times \text{OA}$.

exemple Sur la figure ci-dessous, B est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport $k=3$.

2 Transformer une figure par une homothétie

Transformer une figure par une homothétie, c’est l’agrandir ou la réduire.

exemple Sur le schéma ci-dessous, les points O, A, A′, les points O, B, B′ et les points O, C, C′ sont alignés.

• Le triangle A′B′C′ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2 : on a un agrandissement.

• Le triangle ABC est l’image du triangle A′B′C′ par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{1}{2}$ : on a une réduction.

On a donc : $\frac{\text{OA′}}{\text{OA}}=\frac{\text{OB′}}{\text{OB}}=\frac{\text{OC′}}{\text{OC}}=2$ et $\frac{\text{OA}}{\text{OA′}}=\frac{\text{OB}}{\text{OB′}}=\frac{\text{OC}}{\text{OC′}}=\frac{1}{2}$.

3 Homothétie, proportionnalité et théorème de Thalès

La transformation d’un triangle par une homothétie traduit aussi une configuration de Thalès.

En considérant la seconde figure de la page précédente, on peut remarquer que :

• les côtés des triangles ABC et A′B′C′ sont proportionnels 

• leurs angles homologues sont égaux.

On dit que les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables.

4 Propriétés de conservation de l’homothétie

L’homothétie conserve les angles, l’alignement, le parallélisme et la perpendicularité.

exemple Par une homothétie, l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.

Méthode

Construire l’image d’un segment par une homothétie

Sur le schéma ci-contre, le segment [AB] mesure 2 cm.

a. Reproduire le schéma en vraie grandeur sur une feuille quadrillée, puis construire l’image [A′B′] du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport $\mathrm{1,5}$.

b. Combien mesure la distance A′B′ ?

Repère
Conseils

a. Mesurez avec une règle graduée, les distances OA et OB.

 

Repère
Solution

a. Sur le schéma, on mesure OA = 2,2 cm et OB = 1,6 cm.

Les points O, A et A′ sont alignés et $\text{OA′}=\mathrm{1,5}\times \text{OA}$, soit $\text{OA′}=\mathrm{3,3}\text{cm}$.

Les points O, B et B′ sont alignés et $\text{OB′}=\mathrm{1,5}\times \text{OB}$, soit $\text{OB′}=\mathrm{2,4}\text{cm}$.

b. Le segment [A′B′] est un agrandissement du segment [AB].

On a : $\text{A′ B′}=\mathrm{1,5}\times \text{AB =1,5}\times \text{2}$, soit $\text{A′ B′}=3\text{cm}$.