Résoudre une équation du type x²=a

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I. Équation x2=ax^2=a avec a<0a\lt 0

Exemple 1 : Soit à résoudre l'équation x2=3x^2=-3.

On sait qu'un carré ne peut pas être négatif, donc cette équation n'admet pas de solution. On dit que son ensemble solution est vide.

Si j'appelle S\mathcal S son ensemble solution, on écrit que S=\mathcal S=\emptyset avec \emptyset un symbole qui signifie le vide.

II. Équation x2=ax^2=a avec a0a\geq 0

Exemple 2 : Soit à résoudre l'équation x2=4x^2=4.

Quels sont les nombres xx dont le carré est égal à 44 ? On sait que 22=42^2=4 mais aussi que (2)2=4(-2)^2=4. Donc a priori, nous trouvons deux solutions à cette équation, solutions qui seraient les nombres 2-2 et 22.

Comment rédiger la recherche de solution sans erreur ?

L'équation x2=4x^2=4 peut s'écrire x24=0x^2-4=0 en retranchant 44 aux deux membres.

Mais : x24x^2-4 est la différence de deux carrés et est donc du type a2b2a^2-b^2 dont on connait une factorisation.

x24=(x2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2)

Revenons à l'équation proposée.

x2=4 on retranche 4 aux deux membresx^2=4\quad \text{ on retranche } 4 \text{ aux deux membres}

x24=0 je reconnais une identiteˊ remarquable et je factorisex^2-4=0\quad\text{ je reconnais une identité remarquable et je factorise}

(x2)(x+2)=0 j’obtiens un produit de facteurs nul(x-2)(x+2)=0\quad \text{ j'obtiens un produit de facteurs nul}

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit x2=0x-2=0 ou x+2=0x+2=0

On obtient x=+2x=+2 ou x=2x=-2

Conclusion : l'équation x2=4x^2=4 admet pour solution les nombres 2-2 et +2+2.

On écrit que S={2  ;+2}\mathcal S=\{-2\;; +2\} et cela se lit : l'ensemble solution S\mathcal S est égal à l'ensemble des deux nombres 2-2 et +2+2.

Exemple 3 : Soit à résoudre l'équation x2=17x^2=17

x2=17x^2=17 équivaut à dire x217=0x^2-17=0 équivaut à dire (x17)(x+17)=0(x-\sqrt{17})(x+\sqrt{17})=0 car on sait que (17)2=17\left(\sqrt{17}\right)^2=17 .

Ce produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit : x17=0x-\sqrt{17}=0 ou x+17=0x+\sqrt{17}=0 ce qui donne pour solutions : x=17x=\sqrt{17} ou x=17x=-\sqrt{17}

et S={17  ;17}\mathcal S=\{-\sqrt{17}\;;\sqrt{17}\}

Exemple 4 : Soit à résoudre l'équation 2x2=342x^2=34

Divisons par 22 les deux membres de l'égalité. On obtient : x2=17x^2=17, équation que l'on a su résoudre dans l'exemple 3.