I. Équation avec
Exemple 1 : Soit à résoudre l'équation .
On sait qu'un carré ne peut pas être négatif, donc cette équation n'admet pas de solution. On dit que son ensemble solution est vide.
Si j'appelle son ensemble solution, on écrit que avec un symbole qui signifie le vide.
II. Équation avec
Exemple 2 : Soit à résoudre l'équation .
Quels sont les nombres dont le carré est égal à ? On sait que mais aussi que . Donc a priori, nous trouvons deux solutions à cette équation, solutions qui seraient les nombres et .
Comment rédiger la recherche de solution sans erreur ?
L'équation peut s'écrire en retranchant aux deux membres.
Mais : est la différence de deux carrés et est donc du type dont on connait une factorisation.
Revenons à l'équation proposée.
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit ou
On obtient ou
Conclusion : l'équation admet pour solution les nombres et .
On écrit que et cela se lit : l'ensemble solution est égal à l'ensemble des deux nombres et .
Exemple 3 : Soit à résoudre l'équation
équivaut à dire équivaut à dire car on sait que .
Ce produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit : ou ce qui donne pour solutions : ou
et
Exemple 4 : Soit à résoudre l'équation
Divisons par les deux membres de l'égalité. On obtient : , équation que l'on a su résoudre dans l'exemple 3.