Reconnaître des situations de proportionnalité

Rappels de cours

1 Nombres proportionnels

Soient quatre nombres non nuls $a$, $b$, $c$ et $d$.

 Les nombres $a$ et $b$ sont respectivement proportionnels aux nombres $c$ et $d$ si : $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k.$

 $k$ représente le coefficient de proportionnalité.

2 Représentations

 Une situation de proportionnalité peut se représenter par un tableau.

Un tableau de proportionnalité comporte deux suites de nombres.

Ces nombres sont tels que l’on passe de la première ligne à la seconde en multipliant tous les nombres de la première ligne par un même nombre.

exemple

On passe de la première à la seconde ligne en multipliant chaque nombre de la première ligne par 1,5.

contre-exemple

On ne passe pas de la première à la seconde ligne en multipliant chaque nombre de la première ligne par le même nombre.

 Une situation de proportionnalité peut se représenter graphiquement par des points alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Méthodes

Calculer des quantités proportionnelles

Pour fabriquer la pâte d’une tarte aux noix pour 6 personnes, il faut :

$\text{100}\text{g}$ de sucre, $\text{120}\text{g}$ de beurre, $\text{200}\text{g}$ de farine et 2 œufs.

Un pâtissier désire fabriquer cette tarte pour 15 personnes.

Calculer les nouvelles quantités de chaque ingrédient.

Repère
Solution

Pour trouver les nouvelles proportions, il faut diviser par 6 celles indiquées par la recette puis les multiplier par 15. Il faut donc les multiplier par 2,5.

Ingrédients	sucre	beurre	farine	œufs
Pour 6	$\text{100 g}$	$\text{120 g}$	$\text{200 g}$	$\text{2}$
Pour 15	$\text{250 g}$	$\text{300 g}$	$\text{500 g}$	$\text{5}$

Trouver une distance réelle à partir d’une échelle

Sur une carte, à l’échelle $1/50000$, la distance entre deux carrefours est égale à 12,5 cm.

Quelle est la distance réelle entre ces deux carrefours ?

Repère
conseils

Réalisez un tableau de proportionnalité. Attention aux unités !

 

Repère
Solution

Une échelle de $1/50000$ signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm en réalité.

Les distances réelles sont proportionnelles aux distances mesurées sur la carte.

On peut réaliser le tableau de proportionnalité suivant où $d$ représente la distance réelle entre les deux carrefours.

Distance sur la carte	1 cm	12,5 cm
Distance réelle	50 000 cm	d en cm

Nous obtenons en utilisant le « produit en croix » :

$1\times d=\mathrm{12,5}\times 50000$ soit $d=625000\text{ cm}$ ou encore $d=\mathrm{6,25}\text{ km.}$