Appliquer et calculer des pourcentages

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I. Rappels de cours

  1. Augmenter ou diminuer une quantité de nn %

Soit QQ une quantité.

Une augmentation de nn% de la quantité QQ correspond à une augmentation de n100×Q\dfrac{n}{100} \times Q. La quantité augmentée vaut alors :

Q=Q+n100×QQ' = Q + \dfrac{n}{100} \times Q ou encore Q=Q(1+n100)Q' = Q(1 + \dfrac{n}{100})

Une diminution de nn % de la quantité QQ correspond à une diminution de n100×Q\dfrac{n}{100} \times Q. La quantité diminuée vaut alors :

Q=Qn100×QQ'' = Q - \dfrac{n}{100} \times Q ou encore Q=Q(1n100)Q'' = Q(1 - \dfrac{n}{100})

  1. Calculer un pourcentage d’augmentation

Soit QQ une quantité. Après une augmentation, cette quantité devient égale à Q1Q_1. Le pourcentage nn de cette augmentation est égal à :

n=Q1QQ×100n = \dfrac{Q_1 - Q}{Q} \times 100

Remarque

Pour obtenir un pourcentage de diminution de la quantité diminuée Q2Q_2, on calcule :

QQ2Q×100\dfrac{Q - Q_2}{Q} \times 100

II. Méthodes

  1. Appliquer un pourcentage d’augmentation

Pour aller en automobile d’une ville V1V_1 à une ville V2V_2, il existe deux possibilités : la route nationale et l’autoroute. La longueur du trajet par la route nationale est de 450 km. Le trajet par autoroute est plus long de 12,5%12,5 \%. Calculer la longueur du trajet par autoroute.

Conseils

Applique la formule Q=Q+n100×Q=Q(1+n100)Q' = Q + \dfrac{n}{100} \times Q = Q(1 + \dfrac{n}{100}).

Solution

Notons d1d_1 la distance à parcourir pour aller de V1V_1 à V2V_2 par la route nationale et d2d_2 la distance à parcourir pour aller de V1V_1 à V2V_2 par l’autoroute. Nous avons d1=450d_1 = 450 km.

Alors :

d2=d1+12,5100×d1d_2 = d_1 + \dfrac{12,5}{100} \times d_1 ou encore d2=d1(1+12,5100)d_2 = d_1(1 + \dfrac{12,5}{100}), soit d2=506,25d_2 = 506,25 km.

  1. Appliquer un pourcentage de diminution

On applique une baisse de 25%25\% au prix d’un vêtement coûtant 155 euros. Combien coûte ce vêtement désormais ?

Solution

Notons p1p_1 le prix du vêtement avant la baisse et p2p_2 le nouveau prix. Nous avons p1=155p_1 = 155 euros.

Alors :

p2=p125100×p1p_2 = p_1 - \dfrac{25}{100} \times p_1 ou encore p2=p1(125100)p_2 = p_1(1 - \dfrac{25}{100}), soit p2=116,25p_2 = 116,25 euros.

  1. Appliquer des pourcentages successifs

Un objet coûte 100 euros au 1/1/2012.

Il augmente de 55% au 1/1/2013.

Ce dernier prix est diminué de 55% au 1/1/2014.

Le prix de l’objet est-il revenu à sa valeur du 1/1/2012 ?

Si non, calculer le pourcentage de différence entre le premier et le dernier prix.

Solution

Notons p1p_1, p2p_2 et p3p_3 les prix respectifs de cet objet au 1/1/2012, au 1/1/2013 et au 1/1/2014. Nous avons donc :

p2=100×(1+5100)=105p_2 = 100 \times (1 + \dfrac{5}{100}) = 105 euros

et

p3=105×(15100)=99,75p_3 = 105 \times (1 - \dfrac{5}{100}) = 99,75 euros.

Conclusion : au 1/1/2014, l’objet coûte moins cher qu’au 1/1/2012.

Notons nn le pourcentage de diminution recherché.

Nous avons :

n=p1p3p1×100n = \dfrac{p_1 - p_3}{p_1} \times 100, soit

n=10099,75100×100n = \dfrac{100 - 99,75}{100} \times 100 ou encore n=0,25%n = 0,25\%.