Appliquer et calculer des pourcentages

Rappels de cours

1 Augmenter ou diminuer une quantité de n %

Soit Q une quantité.

 Une augmentation de n % de la quantité Q correspond à une augmentation de $\frac{n}{100}\times Q$. La quantité augmentée vaut alors :

$Q^{\prime }=Q+\frac{n}{100}\times Q$ ou encore $Q^{\prime }=Q\left(1+\frac{n}{100}\right)$

 Une diminution de n % de la quantité Q correspond à une diminution de $\frac{n}{100}\times Q$. La quantité diminuée vaut alors :

$Q\prime \prime =Q-\frac{n}{100}\times Q$ ou encore $Q\prime \prime =Q\left(1-\frac{n}{100}\right)$

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2 Calculer un pourcentage d’augmentation

Soit Q une quantité. Après une augmentation, cette quantité devient égale à $Q_1$. Le pourcentage n de cette augmentation est égal à $n=\frac{Q_1-Q}{Q}\times 100$.

Remarque Pour obtenir un pourcentage de diminution de la quantité diminuée $Q_2$, on calcule $\frac{Q-Q_2}{Q}\times 100$.

Méthodes

Appliquer un pourcentage d’augmentation

Pour aller en automobile d’une ville $V_1$ à une ville $V_2$, il existe deux possibilités : la route nationale et l’autoroute. La longueur du trajet par la route nationale est de 450 km. Le trajet par autoroute est plus long de 12,5 %. Calculer la longueur du trajet par autoroute.

Repère
conseils

Appliquez la formule $Q^{\prime }=Q+\frac{n}{100}\times Q=Q\left(1+\frac{n}{100}\right)$.

Repère
Solution

Notons $d_1$ la distance à parcourir pour aller de $V_1$ à $V_2$ par la route nationale et $d_2$ la distance à parcourir pour aller de $V_1$ à $V_2$ par l’autoroute. Nous avons $d_1=450$ km.

Alors $d_2=d_{\text{1}}+\frac{\mathrm{12,5}}{100}\times d_1$ ou encore $d_2=d_1\left(1+\frac{\mathrm{12,5}}{100}\right)$, soit $d_2=\mathrm{506,25}$ km.

Appliquer un pourcentage de diminution

On applique une baisse de 25 % au prix d’un vêtement coûtant 155 euros. Combien coûte ce vêtement désormais ?

Repère
Solution

Notons $p_1$ le prix du vêtement avant la baisse et $p_2$ le nouveau prix. Nous avons $p_1=155$ euros.

Alors $p_2=p_1-\frac{25}{100}\times p_1$ ou encore $p_2=p_1\left(1-\frac{25}{100}\right),$ soit $p_2=\mathrm{116,25}$ euros.

Appliquer des pourcentages successifs

Un objet coûte 100 euros au 1/1/2012.

Il augmente de 5 % au 1/1/2013.

Ce dernier prix est diminué de 5 % au 1/1/2014.

Le prix de l’objet est-il revenu à sa valeur du 1/1/2012 ?

Si non, calculer le pourcentage de différence entre le premier et le dernier prix.

Repère
Solution

• Notons $p_1$, $p_2$ et $p_3$ les prix respectifs de cet objet au 1/1/2012, au 1/1/2013 et au 1/1/2014. Nous avons donc :

$p_2=100\times \left(1+\frac{5}{100}\right)=105$ euros 
et $p_3=105\times \left(1-\frac{5}{100}\right)=\mathrm{99,75}$ euros.

Conclusion : au 1/1/2014, l’objet coûte moins cher qu’au 1/1/2012.

• Notons n le pourcentage de diminution recherché.

Nous avons : $n=\frac{p_1-p_3}{p_1}\times 100$, soit $n=\frac{100-\mathrm{99,75}}{100}\times 100$ ou encore n = 0,25 %.