Déterminer des antécédents, des images

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Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Rappels de cours

1) Définition et notation

Une fonction est un procédé qui à un nombre xx, appelé antécédent, fait correspondre un seul autre nombre, appelé image.

Notation : on note f(x)f(x) l’image de xx par la fonction ff, ou encore f:xf(x)f:x↦f(x).

2) Détermination d’une fonction

Une fonction ff peut être déterminée par :

  • son expression algébrique, c’est-à-dire la relation existant entre l’antécédent xx et son image f(x)f(x) 
  • sa représentation graphique, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan de coordonnées (xf(x))(xf(x))  
  • un tableau de valeurs, c’est-à-dire un tableau où figurent quelques valeurs de x et leurs images respectives par la fonction ff.

II. Méthodes

1) Calculer images et antécédents par une fonction donnée

Soit la fonction f:x3x2f:x↦3x-2.

a. Écrire l’expression algébrique de ff.

b. Quelles sont les images par ff des nombres suivants :

00,3-3, 14\dfrac{1}{4} et 2\sqrt{2} ?

c. Quels sont les antécédents par ff des nombres :

00,3-3, 14\dfrac{1}{4} et 2\sqrt{2} ?

Conseils

Utilise l’expression donnant f(x)f(x) en fonction de xx pour déterminer les images, et l’expression donnant xx en fonction de f(x)f(x) pour déterminer les antécédents.

Solution

a. L’expression algébrique de ff est : f(x)=3x2f(x)=3x-2.

b. On utilise l’expression algébrique de f pour calculer les images.

L’image de 00 par ff est f(0)=3×02=2f(0)=3\times0-2=-2.

De même, f(3)=11f(-3)=-11, f(14)=54f(\dfrac{1}{4})=-\dfrac{5}{4} et f(2)=322f(\sqrt{2})=3\sqrt{2}-2.

c. Puisque f(x)=3x2f(x)=3x-2, alors x=f(x)+23x=\dfrac{f(x)+2}{3}.

Si f(x)=0f(x)=0, alors x=0+23=23x=\dfrac{0+2}{3}=\dfrac{2}{3}.

De même, les antécédents par ff des nombres 3-3, 14\dfrac{1}{4} et 2\sqrt{2} sont respectivement : 13-\dfrac{1}{3}, 34\dfrac{3}{4} et 2+23\dfrac{\sqrt{2}+2}{3}.

2) Réaliser un tableau de valeurs pour une fonction donnée

Soit la fonction g:x2x(x4)g:x↦-2x(x-4).

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x

0

− 2

54

10−1

− 2

 

g(x)

         

8

Conseils

Utilise l’expression algébrique de g, soit g(x)=− 2x(x−4).

Solution

x

0

− 2

54

10−1

− 2

2

g(x)

0

− 24

558

0,78

− 4−82

8

Remarque Pour trouver l’antécédent de 88, il faut résoudre 2x(x4)=8-2x(x-4)=8, soit x24x+4=0x^2-4x+4=0. Après factorisation, nous avons (x2)2=0(x-2)^2=0, soit x=2x=2.