Déterminer des antécédents, des images

Rappels de cours

1 Définition et notation

Une fonction est un procédé qui à un nombre $x$, appelé antécédent, fait correspondre un seul autre nombre, appelé image.

notationOn note $f\left(x\right)$ l’image de x par la fonction $f,$ ou encore $f:x\mapsto f\left(x\right)$.

2 Détermination d’une fonction

Une fonction $f$ peut être déterminée par :

• son expression algébrique, c’est-à-dire la relation existant entre l’antécédent $x$ et son image $f\left(x\right)$ 

• sa représentation graphique, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan de coordonnées $\left(xf\left(x\right)\right)$  

• un tableau de valeurs, c’est-à-dire un tableau où figurent quelques valeurs de $x$ et leurs images respectives par la fonction $f.$

Méthodes

Calculer images et antécédents par une fonction donnée

Soit la fonction $f:x\mapsto 3x-2$.

a. Écrire l’expression algébrique de $f.$

b. Quelles sont les images par $f$ des nombres suivants :

$0-3$  $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ ?

c. Quels sont les antécédents par $f$ des nombres :

$0-3$  $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ ?

Repère
conseils

Utilisez l’expression donnant $f\left(x\right)$ en fonction de $x$ pour déterminer les images, et l’expression donnant $x$ en fonction de $f\left(x\right)$ pour déterminer les antécédents.

Repère
Solution

a. L’expression algébrique de $f$ est : $f\left(x\right)=3x-2$.

b. On utilise l’expression algébrique de $f$ pour calculer les images.

L’image de $0$ par $f$ est $f\left(0\right)=3\times 0-2=-2$.

De même, $f\left(-3\right)=-11$  $f\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{5}{4}$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}-2$.

c. Puisque $f\left(x\right)=3x-2$, alors $x=\frac{f\left(x\right)+2}{3}$.

Si $f\left(x\right)=0$, alors $x=\frac{0+2}{3}=\frac{2}{3}$.

De même, les antécédents par $f$ des nombres $-\text{3}$  $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ sont respectivement : $-\frac{1}{3}$  $\frac{3}{4}$ et $\frac{\sqrt{2}+2}{3}$.

Réaliser un tableau de valeurs pour une fonction donnée

Soit la fonction $g:x\mapsto -2x\left(x-4\right)$.

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Repère
Conseils

Utilisez l’expression algébrique de $g$, soit $g\left(x\right)=-2x\left(x-4\right)$.

Repère
Solution

$x$	$0$	$-\text{2}$	$\frac{5}{4}$	${10}^{-1}$	$-\sqrt{2}$	2
$g\left(x\right)$	0	$-24$	$\frac{55}{8}$	0,78	$-4-8\sqrt{2}$	$8$

remarque Pour trouver l’antécédent de 8, il faut résoudre $-2x\left(x-4\right)=8$, soit $x^2-4x+4=0$. Après factorisation, nous avons ${\left(x-2\right)}^2=0$, soit $x=2$.