Primitives des fonctions trigonométriques

I. Rappel des dérivées utiles

Pour déterminer des primitives, tu t'appuies sur les dérivées que tu connais :

• la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$

• la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$

On va donc « inverser » ces relations pour obtenir des primitives.

II. Primitives de $\cos(x)$ et $\sin(x)$

Propriétés

• une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$

• une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$

Exemples

Une primitive de $f(x)=2 \cos(x)$ est : $F(x)=2 \sin(x)$

Une primitive de $f(x)=3\sin(x)$ est : $F(x)=-3\cos(x)$

III. Cas des fonctions composées de la forme $\omega t$

On considère une fonction de la forme : $f(t)=\cos(\omega t)$

Propriété

Une primitive de $\cos(\omega t)$ est : $\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)$

De même, une primitive de $\sin(\omega t)$ est : $-\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t)$

Exemple

Une primitive de $f(t)=\cos(2t)$ est : $F(t)=\dfrac{1}{2}\sin(2t)$

IV. Cas général : $A\cos(\omega t+\varphi)$ et $A\sin(\omega t+\varphi)$

Propriétés

Une primitive de $f(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ est : $F(t)=\dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t+\varphi)$

Une primitive de $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ est : $F(t)=-\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)$

V. Méthode de calcul

Pour trouver une primitive :

1. Identifier le type (sinus ou cosinus)

2. Repérer le coefficient $\omega$

3. Diviser par $\omega$

4. Ne pas oublier le signe (important pour le sinus)

Exemple détaillé

On cherche une primitive de : $f(t)=3\cos(4t)$

Étapes :

• primitive de $\cos(4t)$ : $\dfrac{1}{4}\sin(4t)$

• multiplier par 3

Donc : la fonction $F$ définie par $F(t)=\dfrac{3}{4}\sin(4t)$ est une primitive de $f$.

Exemple avec déphasage

On cherche une primitive de : $f(t)=2\sin(3t+1)$

Étapes :

• primitive de $\sin(3t+1)$ : $-\dfrac{1}{3}\cos(3t+1)$

• multiplier par 2

Donc : la fonction $F$ définie par $F(t)=-\dfrac{2}{3}\cos(3t+1)$ est une primitive de $f$.

6. Vérification

Tu peux dériver pour te vérifier.

Exemple : Si tu considères $F(t)=\dfrac{3}{4}\sin(4t)$

Alors : $F'(t)=\dfrac{3}{4}\times 4\cos(4t)=3\cos(4t)$ qui est bien égal à $f(t)$, donc ton résultat est correct.

7. Interprétation et lien avec la physique

Ces fonctions apparaissent dans les phénomènes périodiques :

• oscillations

• ondes

• vibrations

La primitive permet de passer d’une grandeur à une autre :

• vitesse → position

• accélération → vitesse

Exemple

Si la vitesse est : $v(t)=\cos(t)$, alors une position est : $x(t)=\sin(t)$ puisque tu sais que la vitesse est la dérivée de la position.