Calcul de primitives usuelles

I. Principe du calcul de primitives

Calculer une primitive consiste à reconnaître une fonction dont la dérivée redonne la fonction initiale.

C’est l’opération inverse de la dérivation.

On s’appuie donc sur les formules de dérivation connues.

Parle bien de une primitive et non de la primitive, car tu as vu qu'une fonction admet une infinité de primitives.

II. Primitives des fonctions polynomiales

Propriété

Pour tout entier naturel $n \geq 0$ : une primitive de $x^n$ est : $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

Exemple

Une primitive de $f(x)=x^3$ est : $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$

car : $F'(x)=x^3$

Cas particulier

Une primitive de la fonction constante $f(x)=k$ est : $F(x)=kx$

Exemple

Une primitive de $f(x)=5$ est : $F(x)=5x$

III. Linéarité des primitives

Propriété

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$, si $k$ est réel alors :

• une primitive de $f+g$ est $F+G$

• une primitive de $k f$ est $kF$

Exemple

On cherche une primitive de : $f(x)=3x^2+2x$

On traite chaque terme séparément :

• une primitive de $3x^2$ est $x^3$

• une primitive de $2x$ est $x^2$

Donc une primitive de $f$ est : $F(x)=x^3+x^2$

IV. Méthode de calcul

Pour calculer une primitive :

1. Décomposer la fonction (somme de termes simples)

2. Utiliser les formules connues

3. Appliquer la linéarité

4. Ne pas oublier la constante

Exemple complet

On cherche une primitive de : $f(x)=4x^3-2x+7$

On traite chaque terme :

• une primitive de $4x^3$ est $x^4$

• une primitive de $-2x$ est $-x^2$

• une primitive de $7$ est $7x$

Donc : $F(x)=x^4-x^2+7x$

Une primitive de $f$ est $F$, et les primitives de $f$ s'écrivent $F+k$ avec $k$ réel.

Tu peux te vérifier en dérivant : on trouve $F'(x)=4x^3-2x+7$

Donc le résultat est correct.