Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

On va voir dans cette partie des propriétés qui vont nous permettre de montrer qu'un
quadrilatère est en fait un parallélogramme.

I. Propriété (longueurs)

Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Utilisation : On sait que dans le quadrilatère $ABCD$ on a $AB=CD$ et $AD=BC$.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

II. Propriété (diagonales)

Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Utilisation : On sait que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu.
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

III. Propriété (angles)

Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Utilisation : On sait que dans le quadrilatère $ABCD$ on a $\widehat{BAD} = \widehat{BCD}$
et $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$.
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

IV. Propriété (parallélisme)

Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Utilisation : On sait que dans le quadrilatère $ABCD$ $(AB)$ est parallèle à $(CD)$ et $(AD)$ est parallèle à $(BC)$.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

V. Propriété (longueur et parallélisme)

Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Utilisation : On sait que dans le quadrilatère $ABCD$ :
$\bullet$ $(AB)$ est parallèle à $(CD)$ ;
$\bullet$ $AB = CD$.
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.