Un parallélogramme, c'est quoi ?

Prérequis : Tu auras besoin, dans ce chapitre de savoir correctement utiliser
les outils de géométrie : compas, rapporteur, équerre. Tu seras, en effet, amené à tracer
des figures possédant des longueurs ou des angles particuliers. Tu pourras également
avoir besoin des propriétés vues en sixième pour faire des démonstrations.

Enjeu : Ce chapitre te fournit des éléments caractéristiques sur les parallélogrammes
dont tu auras besoin dans toute ta scolarité. C'est également le moment où tu construis
tes premières démonstrations. Il faudra donc que tu sois particulièrement attentif à tes
enchaînements logiques "Si ... Alors".

I. Définition d'un parallélogramme

Définition :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

$ABCD$ est un parallélogramme : $(AB)//(CD)$ et $(AD)//(BC)$

Comment tracer un parallélogramme à l'aide des droites parallèles ?

Par exemple, sur la figure précédente, on veut placer le point $C$ tel que $ABCD$
soit un parallélogramme.
Si je connais par exemple les côtés $(AB)$ et $(AD)$;
On trace la parallèle à $(AB)$ passant par $D$;
On trace la parallèle à $(AD)$ passant par $B$;
Le point d'intersection des deux droites est le point $C$.

⚠️ Attention : Il est très important de vérifier que le parallélogramme qu'on obtient
correspond bien à celui qui est demandé. Il est très fréquent de voir, par exemple,
un parallélogramme $AB\underline{DC}$ alors qu'on demandait le parallélogramme $AB\underline{CD}$.

👉 Conseil pour éviter ce problème : commence par faire au brouillon une figure à main levée !

II. Propriétés d'un parallélogramme

On va voir dans cette partie une série de propriétés que possède un parallélogramme.

Propriété des longueurs :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.

On sait que $ABCD$ est un parallélogramme.
Utilisation : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Donc $AB=CD$ et $AD=BC$.

Utilisation : Comment tracer un parallélogramme avec un compas ?

On connaît les sommets $A$, $B$ et $C$ du parallélogramme $ABCD$.
À l'aide du compas, on reporte la longueur $AB$ à partir du point $C$.
À l'aide du compas, on reporte la longueur $BC$ à partir du point $A$.
Le point $D$ est le point d'intersection des deux arcs de cercle.

Propriété des diagonales :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

On sait que $ABCD$ est un parallélogramme.
Utilisation : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.

Propriété de la symétrie :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.

On sait que $ABCD$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en $O$.

Utilisation : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
Donc $O$ est le centre de symétrie du parallélogramme $ABCD$.

Propriété des angles :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.

Utilisation : On sait que $ABCD$ est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Donc $\widehat{BAD} = \widehat{BCD}$ et $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$.