Médiatrices et hauteurs d'un triangle

I. Médiatrice d’un segment

Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire qui coupe ce segment en son milieu.

Propriété :
La médiatrice est l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités du segment.
Méthode de construction :

• Trace deux arcs de cercle de même rayon depuis les deux extrémités

• Relie leurs points d’intersection : tu obtiens la médiatrice

Remarque :
Tout point $M$ appartenant à la médiatrice du segment $[AB]$ vérifie $AM = BM$.

II. Médiatrices dans un triangle

Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un seul point appelé centre du cercle circonscrit (cercle qui passe par les trois sommets du triangle).

Un autre exemple :

III. Hauteur d’un triangle

Définition :

La hauteur d’un triangle est un segment perpendiculaire abaissé depuis un sommet vers le côté opposé (ou son prolongement).

IV. Aire d’un triangle

Formule générale : $\text{Aire }= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$

V. Exemples

Exemple 1 :

Un élève habite au point $A$, un autre au point $B$. Ils veulent se retrouver dans un lieu situé à égale distance de leurs deux maisons. Où peuvent-ils se rejoindre ?

Solution :
Il faut trouver un point équidistant de $A$ et $B$ : c’est un point de la médiatrice de $[AB]$.
On construit la médiatrice de $[AB]$ : tout point de cette droite est un bon lieu de rendez-vous pour que les deux élèves fassent le même trajet.

Exemple 2 :

On te donne un triangle $ABC$ avec $AB = 6\ \text{cm}$, $AC = 5\ \text{cm}$ et $\widehat{BAC} = 90^\circ$.

1. Construis ce triangle.

2. Trace la hauteur issue de $A$.

3. Mesure cette hauteur.

4. Mesure la longueur $BC$.

5. Calcule l'aire du triangle en utilisant la base $[BC]$.

6. Calcule la hauteur du triangle en utilisant la base $[AB]$.

7. Compare tes deux résultats.

Étapes de résolution :

1. Construction du triangle :

   • Trace $[AB]$ de longueur $6\ \text{cm}$.

   • Place l’angle droit en $A$ en utilisant une équerre pour tracer $[AC]$ de longueur $5\ \text{cm}$ perpendiculaire à $[AB]$.

   • Relie $B$ à $C$ pour fermer le triangle.

     

2. Tracer la hauteur issue de $A$ :

   • La hauteur issue de $A$ est le segment perpendiculaire à $[BC]$ passant par $A$.

   • Trace cette hauteur à l’équerre.

3. Mesure de la hauteur :

   Si ton dessin est assez précis, tu trouves $AH\approx 3,8$ cm

4. Mesure du côté $[BC]$.

   Si ton dessin est assez précis, tu trouves $BC\approx 7,8$ cm.

5. Calcul de l’aire :
   Aire = $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \approx \dfrac{7,8 \times 3{,}8}{2}$ . La calculatrice donne une aire approximative de $14,8$ cm².

6. Si tu calcules l'aire en prenant pour base $[AB]$, la hauteur relative est alors le côté $[AC]$. Mais tu sais que : $AB=6$ cm et $AC=5$ cm. L'aire du triangle est alors égale à :

   Aire = $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} =15$ cm².

7. Si la construction sur le papier a été assez précise, tu trouves $14,8$ cm² alors que l'aire vaut réellement $15$ cm². Le résultat est alors voisin.