Commençons par un exercice.

Exercice :

1. Tracer un segment $[AB$] tel que $AB = 8$ cm. Tracer un cercle de centre $A$ et de rayon $5$ cm.

2. On veut construire un cercle de centre $B$ qui coupe le cercle de centre $A$. Comment doit-on choisir le rayon de ce deuxième cercle pour réaliser la figure ?

Solution :

Le rayon du cercle de centre $B$ doit être supérieur à $3$ cm et inférieur à $13$ cm.

On appelle $C$ l'un des deux points d'intersection des cercles.

On constate que : $BC \lt AB + AC$ ; $AB \lt AC + BC$ et $AC \lt AB + BC$.

I. Inégalité triangulaire : définition et propriété

Contexte

On souhaite construire un triangle connaissant des longueurs. Pour cela, il faut d'abord vérifier une condition essentielle : l'inégalité triangulaire.

Propriété fondamentale (admise)

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Autrement dit, si un triangle a pour côtés $AB$, $BC$ et $AC$, alors :

• AB < BC + AC

• BC < AB + AC

• AC < AB + BC

Cette propriété garantit qu'on peut effectivement construire un triangle avec ces longueurs.

Remarque

Si l'un des côtés est égal à la somme des deux autres, alors les trois points sont alignés et il ne s'agit pas d'un triangle, mais d'un segment.

Conséquences

• Si la plus grande longueur est supérieure ou égale à la somme des deux autres, le triangle ne peut pas exister.

• Sinon, le triangle peut être construit.

II. Exemple d'application de l'inégalité triangulaire

Exemple 1

Côtés : 2 cm, 5 cm et 8 cm
On vérifie si 8 < 2 + 5
Or $8 = 7$, donc 8 \not< 7, le triangle ne peut pas être construit.

Exemple 2

Côtés : 7 cm, 3 cm et 9 cm
On vérifie si 9 < 7 + 3
Or 9 < 10, donc le triangle peut être construit.

III. Construction d'un triangle connaissant la longueur des 3 côtés (la méthode des cercles)

Exemple : Construire un triangle $ABC$ tel que :
$AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, $AC = 3$ cm.

Étapes :

1. Tracer le segment $[AB]$ de longueur 6 cm.

2. Tracer un cercle de centre $A$ et de rayon 3 cm (distance $AC$).

3. Tracer un cercle de centre $B$ et de rayon 4 cm (distance $BC$).

4. Les cercles se coupent en deux points : choisir l’un d’eux comme point $C$.

5. Relier $C$ à $A$ et $C$ à $B$ pour compléter le triangle.

IV. Construction d'un triangle connaissant 2 côtés et l'angle compris entre ces côtés

Exemple : Construire un triangle $DEF$ tel que :
$DE = 3$ cm, $DF = 4$ cm, et l’angle $\widehat{\text{FDE}} = 30°$.

Étapes :

1. Tracer le segment $[DF]$ de longueur 4 cm.

2. Tracer une demi-droite partant de $D$ formant un angle de $30°$ avec le segment $[DF]$.

3. Sur cette demi-droite, placer le point $E$ à 3 cm de $D$.

4. Relier $E$ à $F$.

IV. Construction d'un triangle connaissant 1 côté et les angles adjacents

Exemple : Construire un triangle $GHI$ tel que :
$GH = 4$ cm, $\widehat{\text{HGI}} = 60°$, et $\widehat{\text{GHI}} = 45°$.

Étapes :

1. Tracer le segment $[GH]$ de longueur 4 cm.

2. Tracer la demi-droite $[Gx)$ partant de $G$ telle que l’angle $\widehat{\text{HG}x} = 60°$.

3. Tracer la demi-droite $[Hy)$ partant de $H$ telle que l’angle $\widehat{\text{GH}y} = 45°$.

4. Le point $I$ est l’intersection des demi-droites $[Gx)$ et $[Hy)$.

5. Tracer les segments $[GI]$ et $[HI]$ pour compléter le triangle.

Résumé

• L’inégalité triangulaire est une condition indispensable pour construire un triangle.

• On peut construire un triangle si la longueur du plus grand côté est strictement inférieure à la somme des deux autres côtés.

• Il existe plusieurs méthodes de construction selon les données disponibles (trois côtés, deux côtés et un angle, un côté et deux angles).

• La méthode des cercles est particulièrement utile pour la construction avec trois côtés.